1.7. Численная оптимизация по параметрам базиса

В некоторых приложениях, когда обрабатываемый сигнал может быть представлен в виде суммы известных функций, как (21), известен только вид этих функций, но неизвестны некоторые их параметры. Так, при обработке частотных характеристик динамических звеньев, известно, что обрабатываемые сигналы являются гармоническими, однако частоты этих сигналов могут быть неизвестными, или известными с недостаточной точностью. При обработке звуковых (речевых) сигналов частоты колебательных составляющих неизвестны. В таких случаях обрабатываемый сигнал (21) можно представить в следующем виде:

f(j) = S₀ (j) + ah(j) , S₀ (j) = , (1.51)

i = 1…m , j = 1…N

В качестве базисной системы функций для разложения сигнала (51) естественно принять

ф₁(j,q_i), ф₂(j,q_i) …ф_m(j,q_i) , i = 1…m. (1.52)

Здесь q_i – неизвестные параметры базисных функций, m – число этих параметров. Задав произвольную совокупность параметров q_i, i = 1…m, произведем разложение сигнала (51) по базису (52), используя соотношения (17) и (20). В результате получим набор коэффициентов разложения и энергию ошибки, которые являются функциями принятой совокупности параметров q_i:

C_k = C_k(q₁…q_m) , E_d = E_d(q₁…q_m) (1.53)

Произведя численную оптимизацию E_d(q₁…q_m) по параметрам q_i, i = 1…m, получим:

C_k ^опт = C_k ^опт(q₁^опт…q_m^опт), E_d^опт = E_d^опт(q₁^опт…q_m^опт) (1.54)

Оптимальные параметры из (54)

q_i^опт , i = 1…m, C_k ^опт, k = 1…n, (1.55)

являются оценками параметров q_0i , i = 1…m , и С_0k , k = 1…n незашумленного сигнала (51).

1.8 Оценка погрешностей разложения методом статистического моделирования

Погрешности оценок (55) параметров q_0i и C_0k незашумленного сигнала S₀(j) (50) можно произвести с помощью статистического моделирования. Задав значения параметров q_0i и C_0k и амплитуду шума а, сформируем ансамбль зашумленных реализаций, отличающихся одна от другой реализациями шума h(j). Разложение каждой реализации из ансамбля даст свою оценку (55) параметров q_0i и C_0k , что позволяет вычислить погрешности всех параметров для данной реализации:

dq_i = q_0i – q_i ^опт, i = 1…m, dC_k = C_0k – C_k^опт, k = 1..n (1.56)

Разложение ансамбля зашумленных реализаций позволяет сформировать статистики ошибок по всем параметрам, откуда можно получить оценки законов распределения ошибок и их моменты для заданной амплитуды помехи. При обработке единичной (уникальной) экспериментальной реализации амплитуда помехи определяется по (41), а статистическое моделирование, упомянутое выше, производится вокруг разложения S(j) этой экспериментальной реализации. Это позволяет получить статистические характеристики погрешностей параметров сигнала, представленного единичной реализацией.

Раздел 2. Моделирование непрерывных систем

2.1. Цифровое моделирование непрерывных динамических систем

2.1.1 Методы цифрового моделирования

При решении дифференциальных уравнений на ЦВМ каждая переменная представляется отсчетами, задаваемыми или вычисляемыми в дискретные моменты времени [2.1]. Значения отсчетов также имеют дискретную структуру, определяемую конечностью разрядной сетки машины.

Отсчеты различных переменных появляются на входных и выходных регистрах машины в определенной последовательности, задаваемой программой.

В универсальных ЦВМ все математические операции производятся последовательно в одном арифметическом устройстве, поэтому время решения задачи зависит от ее сложности. За счет увеличения времени решения можно практически неограниченно повышать точность решения. В некоторых случаях определяющее значение имеет возможность решения задачи в реальном масштабе времени.

Для получения значений всех переменных в момент времени

t_m+1 = t_m + h, где h – шаг дискретизации, необходимо провести ряд математических операций над значениями переменных в предыдущие моменты времени, на что затрачивается машинное время dt. Для решения задачи в реальном масштабе времени необходимо, чтобы dt < h . Выполнение этого условия заставляет искать компромисс между скоростью и точностью решения с учетом, разумеется, допустимых для данной задачи погрешностей.

Рассмотрим подробнее погрешности, возникающие при численном решении на ЦВМ системы дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями .

Погрешности решения определяются двумя факторами: дискретизацией переменных по величине и по времени [2.2]. Ошибки первого типа обычно называют ошибками округления, а второго - ошибками дискретизации по времени, ошибками усечения (имеется в виду усечение ряда Тейлора).

Ошибки округления зависят от разрядной сетки машины, способа округления чисел и количества вычислительных операций. В частности, с ростом количества временных шагов решения ошибки округления могут накапливаться. Ошибки дискретизации связаны с пошаговым численным решением системы дифференциальных уравнений. В машине тем или иным способом генерируется последовательность временных точек t_m с шагом h. В каждой точке t_m точное решение x(t_m) аппроксимируется величинами x(t_m), которые вычисляется по предыдущим значениям.

Ошибки численных решений подразделяют на локальные и глобальные. Под локальными понимает ошибки, возникающие в процессе вычислений на одном временном шаге, считая что предыдущие значения известны точно.

Глобальная ошибка - отличие точного решения (обычно неизвестного) от вычисленного на произвольном шаге интегрирования.

Численные методы решения дифференциальных уравнений принято делить на одношаговые и многошаговые. В одношаговых методах для вычисления решения в точке t_m+1 необходимо знать решение только в точке t_m , и задача Коши решается с первого же шага. В многошаговых методах для вычисления решения в точке t_m+1 необходимо знать значения переменных в нескольких предыдущих точках.