1.5 Оценка уровня помех в обрабатываемой реализации

При обработке экспериментальных реализаций представляет интерес уровень помех, присутствующих в этих данных. Для сигналов, которые можно представить в виде зашумленных сигналов (21), можно оценить амплитуду помехи (а). Из соотношений (24) – (26) можно выразить амплитуду помехи, присутствующую в эксперименте:

a² = E_d/(E_h – E_sh ) = E_d/E_h(1 – К_ф²)

Энергия ошибки разложения E_d вычисляется в процессе разложения обрабатываемой реализации. Величины E_h, E_sh, и К_ф оцениваются выражениями (27), (39) и (40). Таким образом:

a² = E_d/D_h(N – n) (1.41)

Напомним, что здесь D_h – дисперсия шума, N – число отсчетов в обрабатываемой реализации, n – количество базисных функций.

1.6. Оценка погрешностей разложения

Для зашумленных сигналов типа (21) в качестве погрешности dS(j) разложения естественно принять разность между разложением S(j) зашумленного сигнала и идеальным (незашумленным) сигналом S₀(j).

Учитывая выражения (21) и (22) можно записать:

dS(j) = S(j) – S₀(j) = = (1.42)

Здесь dC_k = C_k – C_0k – погрешности разложения в области параметров сигнала.

Из рассмотрения треугольника a0a1a3 (рис.3) можно получить:

dS(j) = S(j) – S₀(j) = аS_h(j) (1.43)

Вектор аS_h(j) был определен выше, как проекция помехи на базисную гиперплоскость S_n, амплитуда помехи а оценивается соотношением (41).

На Рис.4 представлен треугольник а0а1а3 из Рис.3, расположенный в базисной гиперплоскости S_n. При обработке экспериментальных данных вектор S(j) становится известным, вектора же S₀(j) и аS_h(j) – неизвестны. Однако длина L вектора aS_h(j), характеризующего ошибку разложения, может быть оценена с помощью соотношений (39), (40),(41):

L = a = = К_ф (1.44)

На Рис.4.4 приведена окружность (в общем случае гиперокружность) с центром в точке а3 и радиусом L (44). Истинное положение точки а3 (конца вектора S₀(j)) лежит на

упомянутой окружности, что и является оценкой погрешности разложения.

Сравнивая соотношения (42) и (43) можно получить:

= a (1.45)

Отсюда

dC_k = aC_hk , k = 1…n. (1.46)

Уравнения (46) показывает, что статистические характеристики ошибок коэффициентов разложения C_k могут быть оценены по статистическим характеристикам коэффициентов C_hk разложения шума. Дисперсию C_hk с учетом (31) можно записать:

D[C_hk] = M[C_hk ²] = (1.47)

Подставив сюда (36), получим:

D[C_hk] = D_h (1.48)

Внутренняя сумма в (48) является элементом единичной матрицы в силу (31) , поэтому:

Отсюда и из (48)

D[C_hk]=D_hQ_kk (1.49)

Таким образом, дисперсию ошибок вычисления коэффициентов разложения сигналов типа (21) можно выразить из (46) и (49) следующим образом:

D[dC_k]=a²D_hQ_kk (1.50)