УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра № 12

Л Е К Ц И Я № 12

«Радиосигналы со смешанной модуляцией »

^{( наименование темы )}

по дисциплине «Теория радиотехнических цепей и сигналов»

Профессор кафедры №12

доктор технических наук, профессор

^{( ученая степень, ученое звание,}

Лось А.П.

^{воинское звание, фамилия и инициалы автора )}

Санкт-Петербург

2011 г.

Вопросы лекции.

1.Спектр колебания при смешанной амплитудно-частотной модуляции.

2.Огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала.

.

1. Спектр колебания при смешанной амплитудно- частотной модуляции

О бобщим выражения (3.25), (3.26), заменив в них постоянную амплитуду A₀ функцией времени A (t):

Определение спектра сводится к нахождению спектров функций ₍ т. е. огибающих квадратурных колебании, и к последующему сдвигу этих спектров на величину ω₀.

Обозначим спектральные плотности функций символами Тогда

Спектральная плотность квадратурного колебания а_с (t)= =Ас(t)cos(ω₀t) в соответствии с выражением (2.58) (при θ_О = 0) будет

При определении спектра синусного квадратурного колебания фазовый угол θ в (2.58) следует приравнять—90°. Следовательно,

В области положительных частот можно считать

Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания a (f) — а_с (t) — a_s (t) определяется выражением

Переходя к переменной получаем

Структура спектра колебания a (t) при смешанной амплитудно- частотной модуляции зависит от соотношения и вида функций А (t) и θ (t).

При чисто амплитудной модуляции спектр колебания a (t) характеризуется полной симметрией амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно несущего колебания; при чисто угловой модуляции симметричны только амплитуды,

фазы же колебаний боковых частот при нечетных п несимметричны относительно частоты ω Одновременная модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между A (t) и θ (t) приводить к асимметрии спектра относительно ω₀ не только по фазам, но и по амплитудам. В частности, если θ (t) является нечетной функцией t, то при любой функции A (t) спектр колебания a (t) несимметричен.

Действительно, пусть A (t) — четная функция. Тогда произведение — четная, а — нечетная функция t, и в соответствии со свойствами преобразования Фурье, перечисленными в § 2.7, п. 6, функция Sa_c (Ω) является вещественной и четной относительно Ω, а — мнимой и нечет- ной. С учетом множителя i второе слагаемое в (3.56) становится так- же вещественной, но нечетной функцией Ω и, следовательно, спектральная плотность S_Q (со) оказывается вещественной функцией, несимметричной относительно точки ω = ω₀. Пример подобного спектра представлен на рис. 3.21. (По отношению к точке ω = 0 модуль спектральной плотности симметричен при любых условиях.)

Аналогичный результат получается и при нечетной функции A (t). В этом случае — нечетная, мнимая функция Ω, а — четная вещественная функция. Слагаемое в выражении (3.56) становится мнимым, и сумма становится функцией несимметричной (по модулю) относительно точки ω= ω₀.

С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что для симметрии спектра S_a (ω) требуется четность функции θ при одновременном условии, чтобы функция A (t) была либо чет- ной, либо нечетной функцией t. Если функция A (t) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих, то спектр S_a (ω) несимметричен даже при четной функции θ (t). На- пример, импульс с линейной частотной модуляцией, рассмотренный в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этом случае прямоугольная' огибающая при надлежащем выборе точки отсчета времени является функцией, четной относительно t, как и функция θ(t) = βt²

Наглядное представление о деформации спектра колебания при двойной модуляции — амплитудной и угловой — можно получить, рассмотрев случай, когда оба вида модуляции осуществляются одной и той же модулирующей функцией. Для упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания cos Ωt для угловой модуляции и в виде или для амплитудной.

1. Обе функции, как A (t), так и θ (t), четные относительно к

Выражение (3.52) принимает вид

Полагая, как в § 3.3, справедливыми приближенные равенства

приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32):

Суммируя квадратурные составляющие получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте ω₀ следующее выражение: при А_а = 1. Аналогичным образом находим амплитуду для колебаний с частотами

Рис. 3.22. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и частоты гармонической функцией.

и для частот Спектр колебания θ(t) представлен на рис. 3.22, а. Амплитудный спектр симметричен.

2. Функция θ(t) — четная, a A (t) — сумма четной и нечетной составляющих:

Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим амплитудам: к 1 при частоте ω₀; к при частоте

^к при частоте при частотах

Спектральная диаграмма представлена на рис, 3.22, б.

Нарушение симметрии спектра при смешанной амплитудно частотной модуляции иногда используется как показатель неправильности работы устройства, осуществляющего амплитудную модуляцию; перекос спектра указывает на то, что полезная амплитудная модуляция сопровождается паразитной угловой модуляцией.

2.. ОГИБАЮЩАЯ, ФАЗА И ЧАСТОТА УЗКО ПОЛОСНОГО СИГНАЛА

Современное состояние радиотехники характеризуется непрерывным усовершенствованием способов передачи информации. Это развитие идет по линии изыскания новых видов сигналов и новых способов их обработки.

Рассмотренные в предыдущих параграфах модулированные колебания являются лишь простейшими видами радиосигналов. Часто приходится иметь дело с радиосигналами, получаемыми в результате одновременной модуляции амплитуды и частоты (или фазы) колебания по весьма сложному закону.

В любом случае предполагается, что заданный сигнал а (0 представляет собой узкополосный процесс. Это означает, что все спек- тральные составляющие сигнала группируются в относительно узкой по сравнению с некоторой центральной частотой со₀ полосе.

При представлении подобных сигналов в форме

возникает неоднозначность в выборе функций A (f) и (t), так как при любой функции (t) всегда можно удовлетворить уравнению (3.52) надлежащим выбором функции A (t).

Так, например, при желании простейшее (гармоническое) ко- лебание

можно представить в форме

где

В выражении (3.58') огибающая А (/) в отличие от Л₀ является функцией времени, которую можно определить из условия

откуда

Отсюда видно, что при а_х = 0, когда A [i) = a (t), имеет место дополнительное равенство

И з этого примера видно, что при нерациональном выборе аргумента ψ (t) (ωt вместо ω₀t) очень усложнилось выражение для А (t), причем эта новая функция A (t) по существу не является «огибающей» в общепринятом смысле, так как она может пересекать кривую a (t) (вместо касания в точках, где a (t) имеет максимальное значение). Оперирование подобной «огибающей» не имеет смысла, а в некоторых случаях и недопустимо, так как может привести к ошибочным практическим выводам (например, при рассмотрении работы амплитудного детектора).

Неопределенности можно избе- жать при представлении A (t) и ψ (t) с помощью следующих соотношений:

где а_х (t) — новая функция, связанная с исходной функцией соотношениями

Эти соотношения называются преобразованиями Гильберта, а функция a₀ (t) — функцией, сопряженной (по Гильберту) функции а (t)

В соответствии с выражениями (3.60), (3.61) рассматриваемая функция a (t) представлена в виде проекции вектора А (t) на ось aбсцисс, относительно которой отсчитывается угол ψ (t) (рис. 3.23).

Для выяснения смысла выражений (3.60), (3.61), а также требования, чтобы а₁(t) являлась функцией, сопряженной по Гильберту исходной функции a (t), рассмотрим сначала некоторые свойства A(t) вытекающие непосредственно из выражения (3.60) и справедливые при любой функции a₁(t) Прежде всего мы видим, что в точках, где функция а_г (t) равна нулю, имеет место равенство A(t) — a (t). Дифференцируя (3.60), получаем

С имметрия спектра нарушается в данном примере из-за неодинаковых амплитуд колебаний верхней и нижней боковых частот

Следовательно, в точках, в которых а_х (0 = 0, кривые A (f) и a (t) имеют общие касательные.

Этих условий, однако, еще недостаточно для того, чтобы можно было рассматривать A (t) как «простейшую» огибающую быстро осциллирующей функции a (t). Необходимо потребовать, чтобы кри- вая A (f) касалась кривой a (t) в точках, в которых последняя имеет амплитудное или достаточно близкое к нему значение. Иными сло- вами, в точках, где а_х (i) обращается в нуль, функция a (t) должна принимать значения, близкие к амплитудным. Это условие как раз и обеспечивается, если функция а_х (t) является сопряженной по Гильберту функции a (t). Это свойство преобразований Гильберта нагляднее всего иллюстрируется на примере гармонического сиг- нала.

Пусть Найдем сопряженную функцию а₁ (t).

Применяя общее выражение (3.62) и переходя к новой переменной находим,

Известно, что

(в смысле главного значения) и

Следовательно, функции соответствует сопряжен-

ная функция

которая проходит через нуль в моменты, когда исходная функция проходит через максимум. Аналогичным образом нетрудно убедить- ся, что функции соответствует сопряженная функ- ция

Подставляя ив выражение

(3.60), получаем для огибающей гармонического колебания обще- принятое выражение

Аналогичный результат получается и для

Как видим, выражение (3.60) определяет огибающую в виде линии, касательной к точкам максимума исходной функции, и в случае гармонического колебания соединяющей два соседних мак- симума кратчайшим путем — прямой линией. Таким образом, вы- ражение (3.60) определяет «простейшую» огибающую. Это свойство выражения (3.60) сохраняется и для сложного сигнала, если выполняется условие медленности изменения огибающей, т. е. если речь идет об узкополосном сигнале [см. выражения (3.2), (3.3)].

Если исходный сигнал представляет собой сумму спектральных составляющих

то сопряженная функция

Ряд (3.65) называется рядом, сопряженным ряду (3.64).

Если сигнал a (t) представлен не рядом (3.64),.а интегралом Фурье '

то функция а₁ (t) может быть представлена в виде интеграла

сопряженного интегралу (3.66).

Нетрудно установить связь между спектрами функций a (t) и а₁ (t). Так как при преобразовании гармонического колебания по Гильберту его амплитуда остается неизменной, то очевидно, что по модулю спектральная плотность S_x (ω) сопряженной функции а_х (t) He может отличаться от спектральной плотности S (ω) исходной функции a (t). Фазовая же характеристика спектра S_x (ω) отличается от разовой характеристики спектра S (ω). Из сопоставления выражений (3.67) и (3.66) непосредственно вытекает, что все спектральные со- ставляющие функции а₁ (t) отстают по фазе на 90° от соответствую- щих составляющих функции a (t). Следовательно, при ω > 0 спектральные плотности S_x (ω) и S (ω) связаны соотношением

В области отрицательных частот соответственно получается

S₁ (ω) = iS (ω), ω < 0. (3.69)

Вследствие изменения фазовой характеристики сопряженная функ- ция а_х (t) по своей форме может сильно отличаться от исходной функции a (t).

Нетрудно, наконец, заметить, что если исходный сигнал записан в форме

где огибающая A (t) определена соотношением (3.60), то сопряжен- ную функцию можно записать в аналогичной форме

Это вытекает непосредственно из определения (3.61) и рис. 3.23.

После того как найдена сопряженная функция а₁ (t). нетрудно с помощью выражений (3.60), (3.61) найти огибающую A (t), полную фазу ψ (t) и, наконец, мгновенную частоту узкополосного сигнала

Выделив в найденной таким образом частоте ω (t) постоянную часть ω₀, можно написать выражение для ψ(t):

в котором В (f) не содержит слагаемого, линейно зависящего от времени. Тем самым устраняется произвол в выборе «средней ча- стоты» сигнала ω₀ и соответственно функции θ(t).

Поясним применение преобразования Гильберта для опреде- ления огибающей фазы и мгновенной частоты сигнала на следую- щем примере.

Пусть задан сигнал в виде суммы двух гармонических колеба- ний с близкими частотами ω_х и ω₂;

и требуется a (t) представить в форме

Расстройка полагается настолько малой по сравнению с ', что колебанием a(t) можно считать узкополосным.

Ч то следует в данном случае подразумевать под Непосредственно из выражения (3.74) трудно выявить структуру огибающей и фазы результирующего колебания а (t). Используем поэтому выражения (3.60), (3.61). Сопряженная функция

Применяя формулу (3.60), находим огибающую сигнала a (t)i

Где

причем для определенности считается, что

Полную фазу суммарного колебания находим по формуле (3.61)t

Применяя далее формулу (3.72), после несложных алгебраиче- ских и тригонометрических преобразований приходим к следующе- му выражению для мгновенной частоты^-

Так как постоянная составляющая функции η(t). равна нулю, то входящие в выражение (3.73) средняя частота ω₀ и функция θ (t) будут

I Итак, на основании (3.76), (3.78) и (3.80)—(3.81) выражение и3.75) приводится к виду

где определяется выражением (3.79).

При этом исключается произвол и неопределенность в выборе огибающей и фазы суммарного колебания.

Графики функции г) характеризующие изменение частоты Приведены на рис. 3.24 для некоторых значений к. При k →1. Получаются выбросы, описываемые дельта-функциями. Это соот-

ветствует производным скачкообразно изменяющейся фазы (На 180°) в моменты времени, когда огибающая биений обращается в нуль. При т. е. при наложении слабого колебания

на сильное выражения (3.76) — (3.79) значительно упро-

щ аются:

В этом случае огибающая, частота и фаза суммарного колеба- ния изменяются по гармоническому закону с частотой = | ω₂ — — ω₁ | относительно своих средних значений соответственно А₁ ω₁и ω₁t.

Формулы (3.76)—(3.83) имеют большое прикладное значение, так как в радиотехнической практике часто приходится иметь дело с биениями двух гармонических колебаний.

В заключение следует отметить, что в некоторых специальных случаях выражения (3.60)—(3.69) используют также и для широко- полосных сигналов, когда понятие «огибающая» амплитуд теряет свой обычный смысл. При этом отказываются от требования, чтобы огибающая A (t) касалась кривой a (t) вблизи точек, в которых а (t) имеет амплитудное значение.