УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра № 12

Л Е К Ц И Я № 19

«Метод анализа прохождения сигналов

Через линейные цепи »

^{( наименование темы )}

по дисциплине «Теория радиотехнических цепей и сигналов»

Профессор кафедры №12

доктор технических наук, профессор

^{( ученая степень, ученое звание,}

Лось А.П.

^{воинское звание, фамилия и инициалы автора )}

Санкт-Петербург

2011 г.

Вопросы лекции.

1.Вводные замечания.

2.Спектральный метод.

3.Метод интеграла наложения.

4. Прохождение дискретных сигналов через

апериодический усилитель.

ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

В радиоэлектронике приходится иметь дело с различными сиг- налами и разнообразными (в основном с инерционными) цепями. При передаче сигналов по таким цепям возникают переходные процессы. Эти процессы оказывают влияние на форму сигналов и в конечном счете на содержащуюся в них информацию. В радиотехнике широкое распространение получили приближенные методы анализа воздействия сигналов на реальные устройства.

Во-первых, выделяются линейные цепи, которые рассматриваются изолированно от нелинейных элементов;

во-вторых, при рассмотрении прохождения сигналов через колебательные цепи, обладающие высокой частотной избирательностью, удается существенно упростить сам метод анализа допущениемо «медленности изменения амплитуд».

Несмотря на перечисленные ограничения, имеется широкий круг практических задач, которые можно успешно решать линей- ными методами. Такие задачи встречаются прежде всего при про- хождении сигналов через линейные усилители с апериодическими и колебательными цепями. Из дальнейшего будет видно, что слабо выраженная при воздействии малых сигналов нелинейность уси- лительных элементов (ламп, транзисторов и т. д.) позволяет ис- пользовать линейные методы при анализе прохождения импульсов и модулированных колебаний через усилители. Даже для сущест- венно нелинейных устройств на основе линейного рассмотрения от- дельных узлов этих устройств часто удается получать полезные для практики результаты.

Напомним основные методы, с которыми приходится иметь дело при анализе прохождения сигналов через радиотехнические цепи.

Для простейших цепей, описываемых дифференциальными урав- нениями не выше второго порядка, задачу обычно нетрудно решить классическим методом дифференциальных уравнений.

Для сложных цепей значительно более удобными оказываются методы, основанные на спектральном представлении сигнала. К этим методам относятся метод интеграла Фурье и тесно с ним связанный операторный метод (преобразования Лапласа). Наряду со спектральным методом в радиоэлектронике часто используется также метод интеграла наложения, основанный на представлении сигнала в виде суммы импульсов (или скачков).

Кроме перечисленных строгих методов, применяются упомя- нутые выше приближенные методы, приспособленные к специфике рассматриваемых цепей и сигналов.

В данной главе излагаются основные положения теории передачи детерминированных сигналов через линейные цепи с постоянными параметрами.

СПЕКТРАЛЬНЫЙ МЕТОД

В основе этого метода лежит использование введенной передаточной функции цепи .

Если на входе линейного четырехполюсника действует сигнал произвольной формы в виде э. д. с. е (t), то, применяя спектральный метод, следует определить спектральную плотность входного сигнала Е (ω). Умножением на получаем спектральную плотность сигнала на выходе четырехполюсника. Наконец, применяя к произведению обратное преобразование Фурье, определяем выходной сигнал в виде функции времени.

Таким образом, если входной сигнал записан в виде интеграла

т о выходной сигнал можно представить в аналогичной форме

Сравнение выражения (6.2) с (6.1) показывает, что сигнал на выходе линейной цепи можно получить суммированием спектра Е (ω) входного сигнала с весом . Иными словами, передаточная функция цепи К. (iω) является весовой функцией, опре- деляющей относительный вклад различных составляющих спектра Е (ω) в сигнал .

Анализ переходных процессов значительно упрощается при представлении как внешней силы, таки передаточной функции цепи в виде преобразований Лапласа. При этом обозначение передаточной функции можно сохранить прежним, а изменить только аргумент, так что перейдет в . Функция же Е (ω) переходит в . Для упрощения записи преобразование Лапласа от функции времени е (t) в дальнейшем обозначается сим- волом Е (р). При этом выражение (6.2) приводится к виду

При t>0 замкнутый контур интегрирования, образованный Добавлением дуги бесконечно большого радиуса в левой полупло- скости (рис. 6.1), охватывает все полюса подынтегральной функ- ции как , так и К (р), благодаря чему имеет место соотношение

•здесь — сумма вычетов в указанных полюсах.

При t < 0 контур интегрирования лежит в правой полуплоско- сти, не содержит полюсов и интеграл равен нулю.

Показанное на рис. 6.1 расположение полюсов функции (на мнимой оси) соответствует э. д. с. вида су- ществующей при

Итак, вычисление интеграла (6.4) сводится к определению вы- четов в полюсах подынтегральной функции. Представим подын- тегральную функцию выражения (6.4) в виде

Тогда вычет функции имеющей в точке р_г простой

полюс (первой кратности), определяется формулой

Если функция Р (p)/Q (р) имеет в точке р_г полюс кратности т (т — целое положительное число), то

Методика применения контурных интегралов для определения некоторых функций, играющих большую роль в теории переход- ных процессов, будет в дальнейшем пояснена на примерах.

МЕТОД ИНТЕГРАЛА НАЛОЖЕНИЯ

Вместо разложения сложного сигнала на гармонические сос- тавляющие (спектральный метод) можно воспользоваться разбие- нием сигнала на достаточно короткие импульсы (рис. 6.2).

Если в основе спектрального метода лежит передаточная функ- ция цепи , то метод интеграла наложения базируется на им- пульсной характеристике цепи .

Пусть требуется найти сигнал S_bыx (t) на выходе цепи, если задан сигнал s (f) на входе цепи и извест- на ее импульсная характеристика . Для уяснения сути метода интеграла наложения поступим следующим образом. Разобьем произвольный сигнал s (х) на элементарные импульсы, как это по- казано на рис. 6.2, и найдем от- клик цепи в момент t на элементарный импульс (на рис. 6.2 заштрихован), действующий на входе в момент х. Если бы площадь этого импульса равнялась единице, то импульс можно было б рассматривать как дельтафункцию, возникшую в момент х. При импульсной характеристике цепи g (х) отклик в момент x был бы_:

очевидно, равен Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 6.2 площадь импульса равна (а не единице), вели-

чина отклика в момент t будет

Для определения полного значения выходного сигнала в момент t нужно просуммировать действие всех импульсов в промежутке от При суммирование сводится к интегрированию. Следовательно,

В общем случае, если начало сигнала s (х) не совпалает с нача- лом отсчета времени х, последнее выражение можно записать в форме

Для реальных цепей всегда выполняется условие

т . е. при отрицательном аргументе функция должна обращаться в нуль, так как отклик не может опережать воздейст- вие. Поэтому выражение (6.8) можно заменить выражением

(при этом имеется в виду, что для подынтегральное выражение обращается в нуль).

Приведем, наконец, еще одну форму записи, которая получается из выражения (6.8) при замене л; на t — xi

Интеграл, стоящий в правой части выражения (6.8), в математике называется сверткой функций s (t) и g (t) (см. § 2.7). Таким образом, приходим к следующему важному положению: сигнал на выходе линейной цепи является сверткой входного сигнала s (f) с импульсной характеристикой цепи .

Из выражения (6.11) видно, что сигнал на выходе цепи s_Bbrx (t) '{в момент t получается суммированием мгновенных значений вход- Лого сигнала s (f) с весом за все предыдущее время.

В § 6.2 при суммировании спектра входного сигнала весовой Функцией являлась передаточная функция цепи К(iω). В данном cлучае при суммировании мгновенных значений входного сигнала весовой функцией является импульсная характеристика цепи, взятая с аргументом , т. е. функция

ПРОХОЖДЕНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ АПЕРИОДИЧЕСКИЙ УСИЛИТЕЛЬ

Дискретные сообщения обычно представляют собой последова- тельности импульсов. При передаче таких последовательностей через инерционные цепи форма импульсов претерпевает изменения, которые приводят к частичной или полной потере передаваемой информации. В связи с этим одной из наиболее типичных задач,

с которыми сталкивается радио-инженер и исследователь в своей практической деятельности, является анализ искажения формы импульсов.

Из всего многообразия возможных форм импульсов наи- больший интерес для анализа представляет прямоугольный им- пульс. Это связано с простотой формирования, а также с его широким применением в системах с двоичным кодом и во мно- гих других радиотехнических устройствах. При работе с пря- моугольными импульсами основное внимание обычно уделяется передаче фронта и среза импульса. Этот вопрос особенно важен, когда передаваемая или извлекаемая информация содержится в положении переднего (или заднего) перепада импульсов на оси времени (например, в некоторых радиолокационных системах).

Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса через апериодический усилитель, изученный в § 5.6. Сначала рассмотрим схему с разделительной цепью R₁ С₁ (рис. 5.15, а). Передаточная функция этого усилителя определяется выражениями (5.50) — (5.52). Затем, положив , перейдем к схеме рис. 5.14, о

характерной для транзисторного усилителя. Пусть в момент t = 0 на вход усилителя подается прямоугольный импульс э. д. с. е (t) с амплитудой Е и длительностью Т (рис. 6.3, а). На протяжении времени от / = 0 до t = Т напряжение на выходе усилителя можно рассматривать как результат включения при t = 0 постоян-

ной э. д. с. В момент t = Т включается дополнительная

э. Д- с. компенсирующая первую э. д. с. (рис. 6.3, б).

Суперпозиция выходных напряжений , обусловленных

действием образует импульс на выходе усилители.

Таким образом, задачу можно свести к рассмотрению процессов установления в усилителе при включении на входе постоянной э д. с.

В соответствии с формулой (2.108) при включении в момент = 0 э. д. с. е_г (f) = E изображение

Тогда по формуле (6.3) выходное напряжение

Полюса подынтегральной функции были определены в § 5.6 [см. формулы (5.53)3:

; ; Находим вычеты по формуле (6.6)

Графики и_х (t) и изображены на

рис. 6.3, в, а результирующее напряжение на выходе усилителя I — на рис. 6.3, г.

Из формулы (6.13) и рис. 6.3, г видно, что при малых временах, т. е. при t, соизмеримых с т„, первая экспонента в выражении (6.13) близка к единице и основное влияние на фронт импульса оказывает вторая экспонента. Когда же t становится соизмеримым с т₁₍ характер функции и_г {t) определяется в основном первой экс- понентой. То же самое относится к функции и₂ (f) при отсчете времени с момента t—T. Прямоугольный импульс с амплитудой Кмакс Е, который имел бы место в идеальном усилителе с равно- мерной частотной характеристикой, изображен на рис. 6.3, г штри- ховой линией.

Искажение формы реального импульса проявляется: а) в конеч- ной крутизне фронта и среза, б) в спаде вершины импульса.

Первый из этих факторов выражен тем сильнее, чем больше по- стоянная времени (и, следовательно, чем сильнее завал частотной характеристики в области верхних частот).

Второй фактор (спад вершины импульса), наоборот, выражен тем сильнее, чем меньше постоянная времени разделительной цепи (и, следовательно, чем сильнее завал частотной харак- теристики в области нижних частот).

Выбор постоянных времени и зависит от требований, предъ- являемых к форме импульса на выходе усилителя. Если тре- буется, чтобы за время Т амплитуда достигала лишь своего макси- мально возможного значения К_{макс,Е то} постоянная времени может иметь величину, близкую к Т. Форма импульса при этом далека от прямоугольной.

В тех случаях, когда требуется удовлетворительное воспроиз- ведение формы импульса, постоянная времени т₀ должна сопостав- ляться со временем, отводимым на длительность фронта выходного импульса, а постоянная времени должна быть велика по срав- нению с длительностью импульса Т. Этот результат имеет важное значение для правильного выбора параметров системы передачи дискретных сообщений, так как он указывает минимальное время, необходимое для перехода от одного дискретного уровня к другому.

Следует отметить, что в случае усиления импульсной последоательности проведенное выше рассмотрение справедливо при достаточно длительном интервале между импульсами, так что наложение переходных процессов от соседних импульсов не имеет места.

Продифференцировав (6.13) по t и приравняв Е к единице, получим выражение для импульсной характеристики апериодического усилителя

представленной на рис. 6.4, а.

Рассмотрим прохождение прямоугольного импульса через тран- зисторный апериодический усилитель, схема которого представлена на рис. 5.14, а. Как указывалось в § 5.6, для этого достаточно устре- мить емкость С_г к бесконечности, т. е. закоротить конденсатор С_и

а проводимость ', включить в G. При этом формула (6.13)

переходит в

( так как t → ∞ ), а импульсная характеристика — в

Импульс на выходе рассматриваемого усилителя изображен на рис. 6.3, д, а импульсная характеристика — на рис. 6.4, б.