УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра № 12

Л Е К Ц И Я № 22

«Нелинейные цепи и методы их анализа »

^{( наименование темы )}

по дисциплине «Теория радиотехнических цепей и сигналов»

Профессор кафедры №12

доктор технических наук, профессор

^{( ученая степень, ученое звание,}

Лось А.П.

^{воинское звание, фамилия и инициалы автора )}

Санкт-Петербург

2011 г.

Вопросы лекции.

1.Нелинейные элементы.

2.Аппрооксимация нелинейных характеристик.

3.Нелинейное резонансное усиление.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ

Основные радиотехнические преобразования осуществляются с помощью либо нелинейных цепей, либо линейных цепей с пере­менными параметрами. Однако последние реализуются тоже с помощью нелинейных элементов (например, емкость, р -n-перехода в полупроводниковом диоде), а некоторые параметрические цепи '.сами работают в существенно нелинейном режиме (например, пара­метрический генератор). Поэтому можно считать, что свойства нели­нейных элементов и цепей являются фундаментом для теории большинства реальных радиотехнических устройств. Приведем некото­рые примеры нелинейных элементов.

Следует различать резистивные (сопротивления) и р е-активные (индуктивности, емкости) нелинейные элементы.

Для радиотехнических цепей и устройств наиболее характер­ными и распространенными резистивными нелинейными элементами являются полупроводниковые, ламповые и любые другие приборы, используемые для усиления или преобразования сигналов и имею­щие нелинейную вольт-амперную характеристику. Важным пара­метром резистивного нелинейного элемента является определенная •соответствующим образом крутизна его характеристики.

,Различают два следующих определения крутизны характеристи­ки: а) в рассматриваемой рабочей точке при слабом сигнале (диф­ференциальная крутизна) и б) крутизна при сильном гармоничес­ком колебании (средняя крутизна).

С первым определением крутизны, соответствующим линейному режиму работы прибора (рис. 8.1, а), эта крутизна определялась выражением

где U₀ приравнивалось (для транзистора).

Второе определение крутизны соответствует существенно нели­нейному режиму работы устройства (рис. 8.1, б) и может быть дано лишь при учете формы вольт-амперной характеристики нелиней­ного элемента в пределах изменения входного воздействия.

Аппроксимация нелинейных характеристик

Для анализа и расчета нелинейных цепей необходимо задать вольт-амперные или иные аналогичные характеристики нелинейных элементов в аналитической форме.

Реальные характеристики обычно имеют сложный вид, затруд­няющий точное их описание с помощью достаточно простого анали­тического выражения.

В технике широкое распространение получили способы пред­ставления характеристик относительно простыми функциями, лишь приближенно отображающими истинные характеристики. Замена истинной характеристики приближенно представляющей ее функ­цией называется аппроксимацией характеристики.

Выбор оптимальной аппроксимации зависит от вида нелинейной характеристики, а также от режима работы нелинейного элемента Одним из наиболее распространенных способов аппроксимации яв­ляется аппроксимация степенным полиномом.

Запишем аппроксимирующий степенной полином в форме

Если под нелинейным элементом подразумевается транзистор, то i — ток коллектора, а и — напряжение, например, между базой и эмиттером. Для вакуумного триода или пентода и — напряжение между управляющей сеткой и катодом, a i — анодный ток и т. д.

Коэффициенты а_и а₂, а₈, ... определяются выражениями

Нетрудно видеть, что а_х представляет собой крутизну характе­ристики в точке и — U₀, а₂ — первую производную крутизны (с коэффициентом 1/2!), а₃—вторую производную крутизны (с ко­эффициентом 1/3!) и т. д.

При заданной форме вольт-амперной характеристики величины коэффициентов а_и а₂, а₃, ... существенно зависят от U₀, т. е. от по­ложения рабочей точки на характеристике.

Рассмотрим некоторые типичные и важные для практики слу­чаи.

1. Рабочая точка расположена на начальном участке характе­ристики, имеющем вид квадратичной параболы (рис. 8.4), Предпо­лагается, что подводимое к нелинейному элементу напряжение сиг­нала е₈, накладываясь на постоянное напряжение Е₀ = U₀, не вы­ходит за точку т. е. за начало характеристики.

Выражение (8.8) в данном случае можно записать в.виде полино­ма второй степени

Коэффициент определяемый выражением (8.9) обозначается символом S

(крутизна характеристики)

Коэффициент определяется из условия, что при ток I = 0, откуда вытекает уравнение

2. Рабочая точка является точкой перегиба характеристики, по­казанной на рис. 8.5.

В точке перегиба кривой все производные четного порядка равны нулю. Поэтому коэффициенты при четных степенях в выражении (8.8) обращаются в нуль и его можно записать в форме

Для упрощения анализа часто ограничиваются полиномом всего лишь третьей степени без квадратичного члена (неполным полино­мом третьей степени). Заменяя, как и в п. 1, и на напряжение сигнала e_s, получаем

Соответствующая этой аппроксимации характеристика показа­на на рис. 8.5 штриховой линией. Напряжение , соответствующее экстремумам аппроксимирующей функции и отсчитываемое от и = = U₀, иногда называют напряжением насыщения.

Действительно, в точке т. е. при амплитуде входного

сигнала равной , выполняется тождество

откуда

Отметим, что аппроксимацией (8.13) допустимо пользоваться, когда напряжение сигнала не выходит за пределы ±U_m

3. Рабочая точка находится на нижнем сгибе характеристики, изображенной на рис. 8.6.

Если изменение напряжения настолько велико, что использует­ся участок, обозначенный на оси абсцисс буквами а, b, то для удов­летворительной аппроксимации требуется полином пятой или более высокой степени. При этом анализ сильно усложняется и примене­ние степенного полинома для практических расчетов оказывается неэффективным.

При очень больших амплитудах сигнала часто оказывается удобным заменять реаль­ную характеристику идеализированной, линейно-ломаной, составленной из отрез­ков прямых линий. Такое представление характеристики называется кусочно-линейной аппроксимацией. Некоторые примеры кусочно-линейной ап­проксимации изображены на рис. 8.7. Рис. 8.7, а соответствует случаю, когда используется нижний сгиб и линейная часть характеристики (участок а — с); рис. 8.7, б — когда сигнал захва­тывает нижний и верхний сгибы (участок а — d), а рис.8.7, в — когда сигнал достигает также и падающего участка характеристи­ки (участок а— c) Следует особо подчеркнуть, что замена реальной нелинейной характеристики линейными отрезками не означает ли­неаризации цепи. Так, например, несмотря на то, что на участке b—с (рис. 8.7, а) характеристика линейна, по отношению к сигналу, захватывающему область изменения а—с, система в целом является существенно нелинейной.

Кусочно-линейная аппроксимация особенно проста и удобна для исследований и расчетов, когда основное значение имеет нижний сгиб характеристики, т. е. когда можно ограничиваться двумя прямыми (рис. 8.7, а). При более сложной форме используемого участка характеристики число-аппроксимирующих отрезков растет и кусочно-линейная

аппроксимация теряет свои преимущества. В подобных случаях иногда для аппроксимации применяются различные транс-

Рис. 8.7. Примеры кусочно-линейной аппроксимации характеристики при раз­личных пределах ее использования.

цендентные функции, например гиперболический тангенс [4], экспо­ненциальные функции и некоторые другие.

Описанные выше приемы аппроксимации применимы и к соот­ветствующим характеристикам реактивных нелинейных эле­менте;