- •Кафедра № 12
- •Санкт-Петербург
- •Вопросы лекции.
- •3.Спектр колебания при смешанной амплитудно-частотной модуляции.
- •1. Угловая модуляция. Фаза и мгновенная частота колебания
- •2.Спектр колебания при угловой модуляции. Общие соотношения
- •2.1. Спектр колебания при гармонической угловой модуляции
- •3. Спектр колебания при смешанной амплитудно- частотной модуляции
3. Спектр колебания при смешанной амплитудно- частотной модуляции
О бобщим выражения (3.25), (3.26), заменив в них постоянную амплитуду A0 функцией времени A (t):
Определение спектра сводится к нахождению спектров функций ( т. е. огибающих квадратурных колебании, и к последующему сдвигу этих спектров на величину ω0.
Обозначим спектральные плотности функций символами Тогда
Спектральная плотность квадратурного колебания ас (t)= =Ас(t)cos(ω0t) в соответствии с выражением (2.58) (при θО = 0) будет
При определении спектра синусного квадратурного колебания фазовый угол θ в (2.58) следует приравнять—90°. Следовательно,
В области положительных частот можно считать
Таким образом, окончательно спектральная плотность колебания a (f) — ас (t) — as (t) определяется выражением
Переходя к переменной получаем
Структура спектра колебания a (t) при смешанной амплитудно- частотной модуляции зависит от соотношения и вида функций А (t) и θ (t).
При чисто амплитудной модуляции спектр колебания a (t) характеризуется полной симметрией амплитуд и фаз колебаний боковых частот относительно несущего колебания; при чисто угловой модуляции симметричны только амплитуды,
фазы же колебаний боковых частот при нечетных п несимметричны относительно частоты ω Одновременная модуляция по амплитуде и углу может при некоторых соотношениях между A (t) и θ (t) приводить к асимметрии спектра относительно ω0 не только по фазам, но и по амплитудам. В частности, если θ (t) является нечетной функцией t, то при любой функции A (t) спектр колебания a (t) несимметричен.
Аналогичный результат получается и при нечетной функции A (t). В этом случае — нечетная, мнимая функция Ω, а — четная
вещественная функция. Слагаемое в выражении (3.56) становится мнимым, и сумма становится функцией несимметричной (по модулю) относительно точки ω= ω0.
С помощью аналогичных рассуждений нетрудно показать, что для симметрии спектра Sa (ω) требуется четность функции θ при одновременном условии, чтобы функция A (t) была либо чет- ной, либо нечетной функцией t. Если функция A (t) может быть представлена в виде суммы четной и нечетной составляющих, то спектр Sa (ω) несимметричен даже при четной функции θ (t). На- пример, импульс с линейной частотной модуляцией, рассмотренный в § 3.7, имеет симметричный спектр. В этом случае прямоугольная' огибающая при надлежащем выборе точки отсчета времени является функцией, четной относительно t, как и функция θ(t) = βt2
Наглядное представление о деформации спектра колебания при двойной модуляции — амплитудной и угловой — можно получить, рассмотрев случай, когда оба вида модуляции осуществляются одной и той же модулирующей функцией. Для упрощения анализа зададим эту функцию в виде гармонического колебания cos Ωt для угловой модуляции и в виде или для амплитудной.
1. Обе функции, как A (t), так и θ (t), четные относительно к
Выражение (3.52) принимает вид
Полагая, как в § 3.3, справедливыми приближенные равенства
приводим это выражение к виду, аналогичному (3.32):
Суммируя квадратурные составляющие получаем для амплитуды результирующего колебания на частоте ω0 следующее выражение: при Аа = 1. Аналогичным образом находим амплитуду для колебаний с ча-
Рис. 3.22. Спектр колебания при одновременной модуляции амплитуды и частоты гармонической функцией.
стотами и для частот Спектр колебания
θ(t) представлен на рис. 3.22, а. Амплитудный спектр симметричен.
2. Функция θ(t) — четная, a A (t) — сумма четной и нечетной составляющих:
Выкладки, аналогичные предыдущим, приводят к следующим амплитудам: к 1 при частоте ω0; к при частоте
к при частоте при частотах
Спектральная диаграмма представлена на рис, 3.22, б.
Нарушение симметрии спектра при смешанной амплитудно частотной модуляции иногда используется как показатель неправильности работы устройства, осуществляющего амплитудную модуляцию; перекос спектра указывает на то, что полезная амплитудная модуляция сопровождается паразитной угловой модуляцией.