Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ДУ-2012-Метод-пособие к СЗ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

13.08.2019

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Замечания: 1. При получении выражений (4) и (5) принципиальным было применение условия y≠0. При получении записи (5) также необходимо потребовать выполнения условия c≠0!..

2. Использование записи (5) удобнее в случае решения задачи Коши: вычисление постоянной C совсем просто, при использовании (4) пришлось бы применять логарифмы!.. Если общее решение уравнения воспринимать как совокупность кривых, то записи эквиваленты!..

Ответ: общее решение ДУ ; хотя при получении общего решения произвольная постоянная величина не должна принимать значение 0, формально из него можно получить решение исходного уравнения при значении .

Пример 6–31: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решения в виде функций: – прямые, параллельные оси , и , то есть ось .

2). Теперь воспользуемся тем, что переменные в уравнении разделяются. Так как решения и учтены, примем теперь и , и запишем уравнение в виде:

. (2)

3). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (2). Получаем общее решение уравнения (2):

→ . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение исходного уравнения можно получать из общего при значении =0; решения также формально можно получать из общего решения.

Пример 7–41: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Преобразуем заданное уравнение к виду: = . Известно, что такое уравнение легко приводится к уравнению с разделяющимися переменными!

2). Примем и вычислим производную , то есть . В нашем случае получаем , что есть уравнение с разделяющимися переменными!

3). Уравнение имеет решение в виде функции: . Учитывая обозначение , запишем решение – прямая линия.

Замечание: Увидеть решение непосредственно из исходного уравнения было бы совсем непросто!

4). Пусть теперь . Запишем уравнение в виде: , или (для удобства!) в виде: . (2)

5). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

Ответ: общее решение ДУ ; в данном случае решение можно получить формально из общего при значении =0; запишем общее решение и в виде , из которого решение получается из общего при значении =0.

Пример 8–43: Решить дифференциальное уравнение: , . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) имеет решение: – ось .

2). Переменные в уравнении разделяются. Так как решение уже учтено, примем теперь , и запишем уравнение в виде: . (2)

3). Интегрирование уравнения (2) не составит труда, даже на начальном этапе освоения неопределённого интеграла → . (3)

4). Используя начальные условия , вычисляем: и получаем частное решение уравнения: – гипербола, её график включает две ветви. Начальные условия выделяют правую ветвь гиперболы!

Ответ: – частное решение ДУ: правая ветвь гиперболы.

Пример 16–167: Найти уравнение кривой линии, проходящей через точку , если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

Решение:

В Примере 1–18 Главы 1 пособия получено выражения: OT= – длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого её касательной; абсциссу точки касания обозначим D= .

С огласно условию задачи и в соответствии с принятыми обозначениями необходимо рассмотреть два случая:

▪ Случай-1: ; (1)

▪ Случай-2: . (2)

Случай-1.

1). Запишем дифференциальное уравнение (1) в виде: – уравнение с разделяющимися переменными, обозначим его .

2). Из записи нетрудно выделить решения: – ось , – прямая, параллельная оси и – ось . Эти решения не отражают существа поставленной геометрической задачи.

3). Пусть теперь и . Перепишем уравнение в виде = – переменные разделились. Интегрируем уравнение: – = = . Используя табличные интегралы и исключая логарифмы, можем записать общее решение:

= , или = . (3)

4). Из записи общего решение дифференциального уравнения следует, что это семейство гипербол.

Для иллюстрации присвоим произвольной величине значение 1. Известно, что график функции = может быть получен, если к простейшей гиперболе применить преобразования:

 Сместить график вправо на 1, лучше сместить ось на 1 влево.

 Сместить график вверх на 1, лучше сместить ось на 1 вниз.

Учёт параметра в записи (3) может быть отмечен возможными действиями: сжатие-растяжение вдоль оси , вращение вокруг оси и движение вверх-вниз.

Так как по условию задачи кривая должна проходить через точку , то используя выражение общего решения (3), получаем значение . Именно для этого случая применён рисунок. Учитывая условие задачи, заметим, что решением является ветвь гиперболы, проходящая через точку .

Случай-2.

1). Запишем дифференциальное уравнение (2) в виде: – уравнение с разделяющимися переменными, обозначим его .

2 ). Из записи нетрудно выделить решения: – ось , – прямая, параллельная оси и – ось . Эти решения не отражают существа поставленной геометрической задачи.

= , или = . (4)

4). Из записи общего решение дифференциального уравнения следует, что это семейство гипербол.

Для иллюстрации присвоим произвольной величине значение –3. Известно, что график функции = может быть получен, если к простейшей гиперболе применить преобразования:

 Сместить график влево на 1, лучше сместить ось на 1 вправо.

 Сместить график вниз на 3, лучше сместить ось на 3 вверх.

Учёт параметра в записи (4) может быть отмечен возможными действиями: сжатие-растяжение вдоль оси , вращение вокруг оси и движение вверх-вниз.

Так как по условию задачи кривая должна проходить через точку , то используя выражение общего решения (4), получаем значение . Именно для этого случая применён рисунок. Учитывая условие задачи, заметим, что решением является ветвь гиперболы, проходящая через точку .