Занятие 1. Основные понятия. Теорема существования и единственности ду 1-го порядка. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

☺ ☻ ☺

Основные понятия:

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называют равенство, содержащее независимые переменные, искомую функцию и её производные (или дифференциалы).

2. Решить ДУ – значит найти все его решения!

3. Решение ДУ – любая функция, которая, будучи подставлена в исходную запись уравнение, обращает его в тождество!

••• ≡ •••

Пример 1–1: Показать, что при любом действительном значении параметра заданная функция является решением ДУ: . (1)

Решение:

1). Разделим уравнение на . Получаем уравнение в виде: . (2)

2). Для нахождения производной заданной функции вспомним: , так как имеем: - табличный интеграл! Тогда: = .

3). Подставим заданную функцию и ее производную в уравнение (2), которое равносильно исходному уравнению (1): → тождество.

4). Это значит, что заданная функция является решением заданного уравнения.

Ответ: заданная функция является решением заданного уравнения.

Пример 2–4: В заданном семействе: выделить уравнение кривой, удовлетворяющей приведенному начальному условию: .

Решение:

1). Выделить из семейства кривых кривую, которая проходит через точку (0,1) – это значит вычислить значение произвольной постоянной , при условии, что =0, =1.

2). Подставим =0, =1 в выражение семейства: , откуда =1.

3). Тогда уравнение кривой семейства, проходящей через точку (0,1): .

Ответ: уравнение кривой: .

Пример 3–9: Составить дифференциальное уравнение семейства парабол: . (1)

Решение:

1). Преобразуем выражение семейства (известная операция выделения полного квадрата): . При непрерывном изменении параметра ось параболы смещается влево при значении параметра , вправо при значении ; одновременно вершина параболы движется по параболе .

2). Вычислим производную для заданного семейства: . (2)

3). Для получения дифференциального уравнения нужно исключить параметр из выражения (1) или из выражения (2):

а) умножив выражение (2) на , получим уравнение =[учтём (1)] = ;

б) получено дифференциальное уравнение: = .

Ответ: ДУ для семейства парабол = .

Пример 4–16: Методом изоклин построить приближенно семейство интегральных кривых для дифференциального уравнения: .

Р ешение:

1). Уравнение изоклин для заданного дифференциального уравнения получается из исходного уравнения приравниванием = . В нашем случае каждая изоклина – это прямая: = . На рисунке изоклины выделены «синим» цветом. На каждой изо­клине черточка («зеленая») отражает кон­крет­ное значение , определяющее изо­клину, то есть: на каждой изоклине наклон черточки один и тот же.

2). Черточки играют роль «железных опилок» в опытах по физике: они показы­вают направление «поля». Возникает «зри­тельный образ», который определяет «при­сутствие некоторой кривой», касатель­ные к которой мы и видим. Это и есть приближенно выделяемая «интегральная кривая» (одна из них выделена «красным» цветом), то есть «решение» заданного ДУ.

Ответ: интегральная кривая представлена на рисунке.

Пример 5–26: Решить дифференциальное уравнение: . (1)

Решение:

1). Прежде всего, отметим, что исходное уравнение (1) не может иметь решения в виде , в частности в виде функции . Это значит, что дифференциал не может быть равным 0. В то же время, функция =0 есть решение уравнения (1).

2). Умножим исходное уравнение (1) на дифференциал . Уравнение (1) перепишем в дифференциальной форме: . (2)

3). Нетрудно заметить, что уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными. Так как решение уже учтено, теперь примем, что и перепишем уравнение (2) в виде: + =0. (3)

4). Используя простейшие приёмы вычисления неопределённых интегралов, проинтегрируем уравнение (3). При получении общего решения уравнения (3) применим два принципиально разных способа использования произвольной постоянной величины:

→ или . (4)

→ или . (5)