- •30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи. Нормальный вектор плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
- •32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости
- •27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Кривые второго порядка, их общее уравнение. Нормальное уравнение окружности. Каноническое уравнение эллипса. Геометрический смысл параметров окружности и эллипса
- •29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометрический смысл их параметров. Уравнение асимптот гиперболы. График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена
- •20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у.
- •21. Собственные векторы и собственные значения матрицы.
- •22. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов
- •23. Квадратичная форма (определение). Матрица квадратичной формы. Ранг квадратичной формы
- •24. Квадратичная форма (канонический вид). Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм
- •26. Уравнение линии на плоскости. Точка пересечения двух линий. Основные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести)
- •Билет1. Понятие матрицы.
- •Билет2. Определители 2-го и 3-го порядков.
- •Свойства определителей
- •Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца
- •4. Понятие минора k-го порядка. Ранг матрицы (определение). Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований
- •3. Особенная и неособенная квадратные матрицы.
- •5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы.
- •19. Определение оператора.
- •13. Векторы на плоскости и в пространстве
- •14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме. Угол между векторами
- •16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис.
- •17. Скалярное произведение векторов в n-мерном пространстве.
- •6. Система n линейных уравнений с n переменными (общий вид).
- •7. Решение системы n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера
- •8. Решение системы n линейных уравнений с n переменными
- •9. Метод Гаусса решения системы n линейных уравнений с n переменными. Понятие о методе Жордана-Гаусса
- •10. Система m линейных уравнений с n переменными. Теорема Кронекера-Капелли. Условия определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений
- •11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными. Базисное решение
- •12. Система линейных однородных уравнений
18. Ортогональные векторы. Ортогональный и ортонормированный базисы.
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Базис линейного пространства e1, e2, ..., en называется ортогональным, если (ei, ej)=0 при всех i≠j.
Базис линейного пространства e1, e2, ..., en называется ортонормированным, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, то есть (ei, ej)=0 при всех i≠j и ei=1 при i = 1, 2, …, n.
Теорема 1. Во всяком n-мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис (без доказательства).
19. Определение оператора.
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x = (x1, x2, … xn) пространства Rn ставится в соответствии единственный вектор y = (y1, y2, … ym) пространства Rm , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение), действующий из Rn в Rm и записывают y = A(x).
Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства Rn и любого числа выполняются соотношения:
1) A(x+y) = A(x) + A(y) – свойство аддитивности оператора;
2) A(x) = A(x) – свойство однородности оператора.
Вектор y = A(x) называется образом вектора x, а сам вектор x - прообразом вектора y.