3. Особенная и неособенная квадратные матрицы.

Квадратная матрица A называется особенной (вырожденной), если ее определитель равен нулю, т.е. A=0.

 Квадратная матрица A называется неособенной (невырожденной), если ее определитель отличен от нуля, т.е. A0.

 Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице n-го порядка A, если AА^-1=А^-1A=E, где E - единичная матрица n-го порядка.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует (и единственна), тогда и только тогда, когда матрица A неособенная.

Необходимость. Пусть матрица A имеет А^-1, т.е. АА^-1=А^-1A=Е. По свойству 10 определителей имеем АА^-1=АА^-1=Е=1, Следовательно, А0 и А^-10

Достаточность. Пусть A0.

Рассмотрим матрицу . По правилу умножения матриц . По определению присоединенной матрицы и свойству 7 определителей , т.е. В - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны А.

Аналогично проверяется, что . Итак, в качестве обратной матрицы можно взять матрицу , так как .

Единственность обратной матрицы следует из того, что если некоторая матрица Х удовлетворяет условию обратной матрицы АХ=Е, то и .

5. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк или столбцов.

Пусть дана матрица . Для ее строк введем обозначения: e₁=(a₁₁, a₁₂, ... , a_1n), e₂=(a₂₁, a₂₂, ... , a_2n), ..., e_m=(a_m1, a_m2, ... , a_mn) .

Две строки матрицы называются равными, если равны их соответствующие элементы.

Операции умножения строки на число и сложения строк вводятся как операции проводимые поэлементно.

 Строка е называется линейной комбинацией строк e₁, e₂, ... , e_s, матрицы, если е=₁e₁+₂ e₂+ ... +_s e_s, где ₁, ₂, ... , _s - произвольные числа.

 Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно зависимыми, если существуют такие числа ₁, ₂, ... , _s не равные нулю одновременно, что линейная комбинация ₁e₁+₂ e₂+ ... +_s e_s равна нулевой строке.

Линейная зависимость всех строк матрицы означает, что хотя бы одна строка матрицы является линейной комбинацией остальных строк.

 Строки матрицы e₁, e₂, ... , e_s называются линейно независимыми, если их линейная комбинация ₁e₁+₂ e₂+ ... +_s e_s равна нулевой строке тогда и только тогда, когда все коэффициенты ₁, ₂, ... , _s равны нулю.

Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).