20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у.

Рассмотрим далее отображение линейного пространства Rⁿ в себя. Зафиксируем базис e₁, e₂, ... , e_n этого пространства.

Связь между вектором x и его образом A(x) можно выразить в матричной форме уравнением Y= AX, где A – матрица линейного оператора A в заданном базисе, X = (x₁, x₂, … x_n), Y = (y₁, y₂, … y_n) - матрицы-столбцы из координат векторов x и y.

Теорема 1. Каждому линейному оператору линейного пространства Rⁿ в себя соответствует матрица в данном базисе. Обратно, всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Доказательство основано на теореме о единственности разложения вектора линейного пространства по базису и свойствах аддитивности и однородности линейного оператора.

Пусть x = x₁ e₁+x₂ e₂+ ... +x_n e_n.Тогда A(x) = x₁ A(e₁) + x₂ A(e₂) + ... +x_n A(e_n) = =x₁(a₁₁ e₁+a₂₁ e₂+…+a_n1 e_n)+ x₂(a₁₂ e₁+a₂₂ e₂+…+a_n2 e_n)+ ... +x_n(a_1n e₁+a_2n e₂+…+a_nn e_n) =

= (a₁₁ x₁+a₁₂ x₂ +…+a_1n x_n) e₁+ (a₂₁ x₁+a₂₂ x₂ +…+a_2n x_n) e₂+ (a_n1 x₁+a_n2 x₂ +…+a_nn x_n) e_n.

С другой стороны, y = y₁ e₁+ y₂ e₂+ ... + y_n e_n.

Следовательно,

Определение 1. Ранг матрицы A называется рангом оператора A.

Определение 2. Суммой двух линейных операторов A и B называется оператор (A + B), определяемый равенством (A + B)(x) = A(x) + B(x).

Определение 3. Произведением линейного оператора A на число  называется оператор A, определяемый равенством A(x) =(A(x)).

Определение 4. Произведением двух линейных операторов A и B называется оператор (A B), определяемый равенством (A B)(x) = A(B(x)).

Определение 5. Нулевым оператором называется оператор, переводящий все векторы пространства Rⁿ в нулевые векторы.

Определение 6.Тождественным оператором называется оператор E, переводящий каждый вектор в себя, то есть E(x) = x.

21. Собственные векторы и собственные значения матрицы.

Определение 1. n-мерный вектор x  0 называется собственным вектором линейного оператора A, если существует такое число , что A(x) = x. Число  называется собственным значением оператора A, соответствующим вектору x.

Можно доказать, что ненулевое решение уравнения AX = X существует тогда и только тогда, когда определитель A - E=0, где E - единичная матрица n –го порядка.

Определение 2. Определитель A - E является многочленом n –ой степени относительно переменной  и называется характеристическим многочленом линейного оператора A.

Определение 3. Характеристическим уравнением линейного оператора A называется уравнение A - E=0.

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора A не зависит от выбора базиса линейного пространства.