[ Иванов] Астрофизика звёзд

44 gL. III. mEHANI^ESKOE RAWNOWESIE ZWEZDY

wELI^INA Mr, DAWAEMAQ (1.33), ESTX RELQTIWISTSKIJ ANALOG MASSY{ \NERGII WNUTRI TREHMERNOJ SFERY RADIUSA r. w ^ASTNOSTI, WELI^INA

M = 4 Z R r2 dr (1.34)

0

GDE R | RADIUS KONFIGURACII, OPREDELQEMYJ USLOWIEM (R) = 0, ESTX MASSA OB_EKTA, IZMERQEMAQ PO EGO POL@ TQGOTENIQ UDALENNYM NABL@- DATELEM. oNA NE RAWNA SUMMARNOJ MASSE POKOQ WSEH SLAGA@]IH ZWEZDU ^ASTIC. pUSTX n | KONCENTRACIQ BARIONOW, 0 | SREDNQQ MASSA POKOQ NA ODIN BARION. tAK KAK OB_EM [AROWOGO SLOQ TOL]INOJ dr W RASSMATRI-

rAZNOSTX M0 ; M IZWESTNA KAK GRAWITACIONNYJ DEFEKT MASSY KONFI-

GURACII.

|TI REZULXTATY | SLEDSTWIE URAWNENIJ POLQ |JN[TEJNA DLQ STATI- ^ESKOGO SFERI^ESKI-SIMMETRI^NOGO SLU^AQ. gEOMETRIQ PROSTRANSTWA { WREMENI MOVET BYTX OPISANA PRI \TOM LINEJNYM \LEMENTOM

mNOVITELX e2 OPISYWAET ZAMEDLENIE HODA WREMENI W GRAWITACION- NOM POLE, e2 | KRIWIZNU PROSTRANSTWA. dLQ STATI^ESKOGO SFERI^ESKI- SIMMETRI^NOGO POLQ, O^EWIDNO, = (r) I = (r). oKAZYWAETSQ, ^TO

wELI^INA c2 (r) IGRAET ROLX GRAWITACIONNOGO POTENCIALA. pOMIMO ME- HANI^ESKOGO RAWNOWESIQ, E@ OPREDELQETSQ I GRAWITACIONNOE KRASNOE SME- ]ENIE FOTONA, ISPUSKAEMOGO NA r, PRI EGO NABL@DENII NA BESKONE^NOSTI (NE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, MOVNO S^ITATX (1) = 0).

TERPIT RAZRYW. ~ASTICA, SWOBODNO PADA@]AQ W RADIALXNOM NAPRAWLE- NII IZ BESKONE^NOSTI W CENTRALXNO-SIMMETRI^NOM GRAWITACIONNOM PO- LE, OPISYWAEMOM METRIKOJ {WARC[ILXDA (1.41), PRI r = RG PRIOBRE- TAET SKOROSTX, RAWNU@ c. |TOT STROGIJ REZULXTAT W TO^NOSTI SOWPADAET S TEM, ^TO DAL NAM KLASSI^ESKIJ INTEGRAL \NERGII (1.30) PRI BEZDUM- NOJ PODSTANOWKE W NEGO v = c (T.E. WNE OBLASTI EGO PRIMENIMOSTI). |TO NE BOLEE ^EM SOWPADENIE. iZ KLASSIKI MOVNO BYLO NADEQTSQ POLU^ITX LI[X PRAWILXNU@ PORQDKOWU@ OCENKU RG GM=c2. tO, ^TO NA SAMOM DELE WERNYM OKAZYWAETSQ I KO\FFICIENT, | DELO SLU^AQ.

w ^EM KA^ESTWENNYE OTLI^IQ GIDROSTATIKI ZWEZDY PO nX@TONU I PO |JN[TEJNU? dLQ UDOBSTWA SOPOSTAWLENIQ WYPI[EM SOOTWETSTWU@]IE

kLASSI^ESKOE URAWNENIE RAWNOWESIQ SAMO PO SEBE NE NAKLADYWAET OGRA- NI^ENIJ NA MASSU I RADIUS KONFIGURACII, W oto VE \TO NE TAK. kAK WIDNO IZ (|), RAWNOWESIE WOZMOVNO LI[X PRI r > RG. w PROTIWNOM SLU^AE W NARUVNYH ^ASTQH KONFIGURACII BYLO BY dP=dr > 0, ^TO NE- SOWMESTIMO SO STATIKOJ. dALEE, WIDNO, ^TO PRI ODINAKOWYH P I Mr ZNA^ENIQ jdP=drj W RELQTIWISTSKOM SLU^AE BOLX[E, ^EM W NX@TONOWSKOM: W ^ISLITELE W PRAWOJ ^ASTI (|) W OBEIH KRUGLYH SKOBKAH POQWILISX DO- POLNITELXNYE POLOVITELXNYE SLAGAEMYE (DAWLENIE W oto NE TOLXKO ,,DAWIT", NO I ,,WESIT"), ZNAMENATELX VE IZ-ZA MNOVITELQ (1;2GMr=c2r) UMENX[ILSQ. iTAK, GRAWITACIQ W STATI^ESKOM SFERI^ESKOM TELE SOGLAS- NO TEORII OTNOSITELXNOSTI OKAZYWAETSQ SILXNEE, ^EM PO NX@TONOWSKOJ

TEORII. pROQWLENIEM \TOGO SLUVIT, W ^ASTNOSTI, UMENX[ENIE PREDELX- NOJ MASSY BELYH KARLIKOW IZ-ZA U^ETA \FFEKTOW oto (SM. RAZD. ??).

wELI^INA 'i ESTX, O^EWIDNO, GRAWITACIONNYJ POTENCIAL W MESTE RASPO- LOVENIQ i-OJ ^ASTICY, SOZDAWAEMYJ WSEMI OSTALXNYMI MASSAMI.

eSLI WE]ESTWO RASPREDELENO NEPRERYWNO, TO SUMMIROWANIE ZAMENQ- ETSQ INTEGRIROWANIEM, PRI^EM POD ,,^ASTICEJ" TEPERX SLEDUET PONIMATX MASSU dV , ZAKL@^ENNU@ W \LEMENTARNOM OB_EME dV . pO\TOMU

EG = ;Z (r r') dV:

V

sEJ^AS ONO NAM NE PONADOBITSQ, I POTOMU POKA MY OGRANI^IWAEMSQ LI[X EGO UPOMINANIEM. wYWOD SM. W P. 2.5, GDE ONO ISPOLXZUETSQ.

eSLI IMEETSQ SFERI^ESKAQ SIMMETRIQ, TO dV = 4 r2 dr = dMr, I PO\TOMU (2.1) PRINIMAET WID

EG = 1 Z M ' dMr :

2 0

iNTEGRIRUQ PO ^ASTQM I U^ITYWAQ, ^TO W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE d'=dr = GMr=r2, LEGKO POLU^ITX, ^TO (PROWERITX!)

GDE M I R | MASSA I RADIUS KONFIGURACII. oTS@DA POSLE E]E ODNOGO INTEGRIROWANIQ PO ^ASTQM OKON^ATELXNO NAHODIM

rIS. III.2.1:

k WY^ISLENI@ GRAWITACIONNOJ \NERGII SFERI^ESKI-SIMMETRI^NOJ ZWEZDY.

pROWERXTE, ^TO (2.2) MOVNO POLU^ITX TAKVE PODSTANOWKOJ W (2.1) QWNOGO WYRAVENIQ (1.20) DLQ ' ^EREZ .

fORMULU (2.2) LEGKO WYWESTI I NEPOSREDSTWENNO IZ FIZI^ESKIH SO- OBRAVENIJ. uDALQEM WE]ESTWO SO ZWEZDY SLOJ ZA SLOEM. tOGDA NA NE- KOTOROM \TAPE BUDEM IMETX ZWEZDU RADIUSA r I MASSY Mr , OT KOTOROJ OTDELEN SLOJ MASSY dMr, NAHODQ]IJSQ NA RASSTOQNII r0 OT CENTRA ZWEZ- DY (RIS. III.2.1). nA EDINICU MASSY W \TOM [AROWOM SLOE DEJSTWUET SILA PRITQVENIQ GMr=r02, I PO\TOMU DLQ SME]ENIQ SLOQ NA dr0 NADO SOWER- [ITX RABOTU (GMr dMr=r02) dr0. |NERGIQ, NEOBHODIMAQ DLQ PEREME]ENIQ MASSY dMr S POWERHNOSTI NA BESKONE^NOSTX, SOSTAWLQET, TAKIM OBRAZOM,

sUMMIRUQ RABOTU PO POSLEDOWATELXNOMU UDALENI@ WSEH SLOEW, SOSTAWLQ- @]IH ZWEZDU, PRIHODIM K (2.2).

pRI SVATII MASSY M W ZWEZDU RADIUSA R WYDELQETSQ \NERGIQ jEGj, OPREDELQEMAQ (2.2). |TA \NERGIQ ^ASTI^NO IDET NA NAGREW ZWEZDY, ^AS- TI^NO VE RASHODUETSQ NA IZLU^ENIE. oCENIM EE. wWODQ BEZRAZMERNYE PEREMENNYE | DOL@ MASSY q Mr=M I DOL@ RADIUSA x r=R, MOVEM PEREPISATX (2.2) W WIDE

wNIMANIE! tA VE BUKWA ! ISPOLXZUETSQ NAMI DLQ OBOZNA^ENIQ UGLOWOJ SKOROSTI WRA]ENIQ ZWEZDY (SM., NAPRIMER, P.P. 1.2 I 1.6).

dLQ OCENKI ! ZAMETIM, ^TO TAK KAK x = r=R 1, TO ! R01 q dq = 1=2. zNAK RAWENSTWA SOOTWETSTWUET NEREALXNOJ MODELI ZWEZDY W WIDE PUSTOTELOJ TONKOJ TQVELOJ SFERI^ESKOJ OBOLO^KI RADIUSA R. dLQ OD- NORODNOGO [ARA Mr = (4 =3) r3 = x3M , I EG LEGKO WY^ISLQETSQ, ^TO DAET ! = 3=5. o^EWIDNO, ^TO KOGDA PLOTNOSTX RASTET K CENTRU, KAK \TO NA SAMOM DELE I ESTX, TO ! > 3=5. dEJSTWITELXNO, ^TOBY POLU^ITX TAKOE RASPREDELENIE PLOTNOSTI IZ RAWNOMERNOGO, NADO ^ASTX WE]ESTWA S PERI- FERII PERENESTI BLIVE K CENTRU, ^TO BUDET SOPROWOVDATXSQ WYDELENIEM DOPOLNITELXNOJ GRAWITACIONNOJ \NERGII. tAK KAK M I R S^ITA@TSQ PRI \TOM POSTOQNNYMI, TO ! DOLVNO WOZRASTATX.

w STOLX SILXNO RAZLI^A@]IHSQ PO RASPREDELENI@ MASSY MODELQH, KAK ,,MQ^" S TONKIMI TQVELYMI STENKAMI I ODNORODNAQ SFERA, ZNA^ENIQ ! OKAZYWA@TSQ, TAKIM OBRAZOM, O^ENX BLIZKI: ! = 0:5 I 0:6, SOOTWET- STWENNO. w OBOIH SLU^AQH ONI NE SILXNO OTLI^A@TSQ OT EDINICY.

pROWERXTE, ^TO LINEJNOMU PADENI@ PLOTNOSTI = c (1 ; r=R) OTWE^AET

! = 26=35 = 0:74.

mOVNO DUMATX, ^TO I DLQ BOLEE REALISTI^NYH MODELEJ, U KOTORYH PLOTNOSTX WOZRASTAET K CENTRU DOWOLXNO BYSTRO, ! WSE VE BUDET PO- RQDKA EDINICY. i DEJSTWITELXNO, ESLI W ZWEZDE P / 1+1=n | W \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO ZWEZDA ESTX POLITROPA INDEKSA n, | TO, KAK BUDET POKAZANO W P. V.2.1 (S. 129), ! = 3=(5 ; n). zWEZDY GLAWNOJ POSLEDO- WATELXNOSTI PO SWOEMU STROENI@ BLIZKI K POLITROPAM S n OT 1.5 DO PRIMERNO 3.5. sOOTWETSTWENNO \TOMU, DLQ NIH ZNA^ENIQ ! ZAKL@^ENY W INTERWALE OT 0:9 DO 2. |TO ILL@STRIRUETSQ RIS. III.2.2, DA@]IM ! DLQ MODELEJ HIMI^ESKI ODNORODNYH ZWEZD RAZLI^NYH MASS (RAS^ETY w.b. iLXINA, aSTRONOMI^ESKIJ INSTITUT spBgu HIMI^ESKIJ SOSTAW:

X = 0:70 Y = 0:27 Z = 0:03).

iZ WSEH ZWEZD NA^ALXNOJ GLAWNOJ POSLEDOWATELXNOSTI NAIBOLX[IMI ZNA^ENIQMI !, A ZNA^IT, I NAIBOLX[EJ KONCENTRACIEJ WE]ESTWA K CENT- RU OBLADA@T ZWEZDY S MASSAMI, BLIZKIMI K SOLNE^NOJ, TO^NEE, RAZA W POLTORA { DWA BOLX[IMI M .

rIS. III.2.2:

bEZRAZMERNAQ GRAWITACIONNAQ POTENCIALXNAQ \NERGIQ HIMI^ESKI ODNORODNYH ZWEZD RAZNYH MASS

(X=0.70, Y=0.27, Z=0.03).

pOLEZNO ZNATX TAKVE ZNA^ENIE ! DLQ sOLNCA W EGO NYNE[NEM SOSTO- QNII, KOGDA ONO PROVILO NA gp UVE OKOLO POLOWINY OTPU]ENNOGO EMU SROKA:

! = 1:62 :

|TO ZNA^ENIE RASS^ITANO NAMI PO TOLXKO ^TO POQWIW[EJSQ W iNTERNE- TE (OKTQBRX 2000 G.) I, KAK MOVNO DUMATX, ODNOJ IZ LU^[IH, ESLI NE LU^[EJ IZ IME@]IHSQ MODELEJ SEGODNQ[NEGO sOLNCA (J.N. Bahcall et al., http://www.sns.ias.edu/ jnb). zNA^ENI@ EG DLQ SOWREMENNOGO sOLNCA,

PRIWODIMOMU W TRETXEM IZDANII STANDARTNOGO SPRAWO^NIKA k. aLLENA ,,aSTROFIZI^ESKIE WELI^INY" (m.: mIR, 1977), SOOTWETSTWUET ! = 1:7. oBSUVDENIE ^ISLENNYH ZNA^ENIJ EG DLQ ZWEZD RAZNYH TIPOW I IH

IZMENENIQ W HODE ZWEZDNOJ \WOL@CII MY OTLOVIM DO P. 3.2.

I URAWNENIQ, OPREDELQ@]EGO Mr:

dMdrr = 4 r2 :

RAWENSTWO PO WSEJ ZWEZDE. sOGLASNO (2.2), INTEGRAL OT dEG ESTX GRAWITA- CIONNAQ \NERGIQ ZWEZDY EG. lEWU@ ^ASTX PREOBRAZUEM INTEGRIROWANIEM PO ^ASTQM. s U^ETOM TOGO, ^TO W CENTRE ZWEZDY V = 0, A NA POWERHNOSTI P = 0, OKON^ATELXNO NAHODIM

GDE INTEGRIROWANIE IDET PO WSEMU OB_EMU ZWEZDY. |TO SOOTNO[ENIE I WYRAVAET TEOREMU WIRIALA DLQ SFERI^ESKI-SIMMETRI^NOJ ZWEZDY, NAHO- DQ]EJSQ W MEHANI^ESKOM RAWNOWESII. pOSKOLXKU dMr = dV , EGO MOVNO ZAPISATX TAKVE W FORME

EG = ;3 Z M P dMr :

0

pO OPREDELENI@ NORMALXNOJ ZWEZDY, DAWLENIE W NEJ SOZDAETSQ IDE- ALXNYM NEWYROVDENNYM NERELQTIWISTSKIM GAZOM. pO\TOMU P = NkT , GDE N | KONCENTRACIQ ^ASTIC. w ZWEZDAH GAZ MOVNO S^ITATX ODNOATOM- NYM. w PRENEBREVENII \NERGIEJ WOZBUVDENIQ I IONIZACII PO SRAWNE- NI@ S KINETI^ESKOJ \NERGIEJ POSTUPATELXNOGO DWIVENIQ ^ASTIC OB_- EMNAQ PLOTNOSTX \NERGII GAZA RAWNA TOGDA eKIN = (3=2)NkT , TAK ^TO P = (2=3)eKIN . pOLNAQ \NERGIQ TEPLOWOGO DWIVENIQ WSEH SOSTAWLQ@]IH ZWEZDU ^ASTIC

ET Z eKIN dV = 32 Z P dV

I PO\TOMU DLQ NORMALXNOJ ZWEZDY WIRIALXNOE SOOTNO[ENIE (2.4) PRINI- MAET WID

|TO PROSTEJ[AQ I ODNOWREMENNO NAIBOLEE UPOTREBITELXNAQ FORMA TE- OREMY WIRIALA. dRUGOJ WARIANT EE ZAPISI POLU^AETSQ, ESLI WWESTI POL- NU@ \NERGI@ NORMALXNOJ ZWEZDY E, RAWNU@, O^EWIDNO,

E = EG + ET :

wO WSEJ TEORII ZWEZD EDWA LI NAJDETSQ DRUGOJ PRIMER STOLX VE WNE[- NE PROSTOGO REZULXTATA, KOTORYJ BYL BY W TO VE WREMQ STOLX VE WAVEN, KAK I SKROMNOE NA WID RAWENSTWO (2.5). eGO OBSUVDENIE BUDET DANO W P. 3.3, S. 81.

s TO^KI ZRENIQ DINAMIKI TEOREMA WIRI- ALA ESTX NEKOTOROE UTWERVDENIE STATIS- TI^ESKOGO HARAKTERA OTNOSITELXNO SO- WOKUPNOSTI WZAIMODEJSTWU@]IH ^ASTIC. rASSMOTRIM SISTEMU MATERIALXNYH TO-

^EK S MASSAMI mi, NAHODQ]IHSQ W ri POD DEJSTWIEM SIL Fi. w NERELQTI- WISTSKOM SLU^AE URAWNENIE DWIVENIQ i-OJ ^ASTICY IMEET WID

miri = Fi :

uMNOVIM EGO SKALQRNO NA ri. mY IMEEM

d2r2 2

dt2i = 2ri ri + 2ri :

|TO ^ASTNYJ SLU^AJ FORMULY lEJBNICA DLQ n-OJ PROIZWODNOJ PROIZ-

WEDENIQ PRI n = 2. dALEE, r2i = ri2, GDE ri = jrij, A r2i = vi2, TAK ^TO ri ri = 1=2 (d2ri2=dt2) ; vi2. pO\TOMU

i