[ Иванов] Астрофизика звёзд

rIS. V.5.8:

gRAWITACIONNOE POLE POLITROP RAZNYH INDEKSOW n. hOTQ S ROSTOM n POTENCIALXNAQ QMA STANOWITSQ GLUBVE, PRI n 3 POTENCIAL W PREDELAH WSEJ ZWEZDY WSE E]E IMEET TOT VE PORQDOK, ^TO I NA POWERHNOSTI.

WLIQNIE DAWLENIQ IZLU^ENIQ NA RASPREDELENIE TEMPERATURY UWELI^IWA- ETSQ.

pOLITROPY | SLI[KOM SHEMATI^NYE MODELI DLQ IZU^ENIQ RAZLI^- NYH WTOROSTEPENNYH \FFEKTOW, LI[X ODNIM IZ KOTORYH W ZWEZDAH NE SLI[KOM BOLX[IH MASS QWLQETSQ DAWLENIE IZLU^ENIQ. pO\TOMU NA[E OB- SUVDENIE SKOREE IZLI[NE PODROBNO, ^EM NEDOSTATO^NO POLNO.

zWEZDA SOZDAET GRAWITACIONNU@ POTEN- CIALXNU@ QMU. gLUBINA \TOJ POTENCI- ALXNOJ QMY PRI ZADANNYH MASSE I RADI- USE ZWEZDY OPREDELQETSQ RASPREDELENIEM

WE]ESTWA, T.E. W SLU^AE POLITROPY | ZNA^ENIEM n. wNUTRI POLITRO- PY, PRI r < R, POTENCIAL ', NORMIROWANNYJ K NUL@ NA BESKONE^NOSTI, WYRAVAETSQ ^EREZ FUNKCI@ |MDENA TAK (SM. RAZD. 2, S. 129 I 137):

'(r) = ; 1 + 1 1 r GM1 R R

PRI r > R IMEEM OBY^NYJ NX@TONOWSKIJ POTENCIAL GM=r. s ROSTOM n GLUBINA POTENCIALXNOJ QMY RASTET (RIS. V.5.8). oDNAKO PRI n 3 POTENCIAL WNUTRI ZWEZDY PO PORQDKU NE OTLI^AETSQ OT EGO ZNA^ENIQ NA POWERHNOSTI. oTS@DA, W ^ASTNOSTI, SLEDUET, ^TO ESLI \FFEKTY oto MALY BLIZ POWERHNOSTI, TO ONI MALY I PO WSEJ ZWEZDE.

bUDET UMESTNO TAKVE NAPOMNITX, ^TO POTENCIAL, OTS^ITANNYJ OT POWERHNOSTI, W NORMALXNOJ POLITROPE PROPORCIONALEN TEMPERATURE, T.E.

rIS. V.5.9:

pARAMETR DLQ POLITROP RAZNYH INDEKSOW.

/ T . pO\TOMU PROFILI TEMPERATURY, POKAZANNYE NA RIS. V.5.6, QW- LQ@TSQ ODNOWREMENNO I PROFILQMI POTENCIALA = c. w ^ASTNOSTI, SO- GLASNO RIS. V.5.6b, POTENCIAL W DOLQH CENTRALXNOGO, RASSMATRIWAEMYJ W FUNKCII DOLI MASSY q = Mr=M , SRAWNITELXNO MALO ^UWSTWITELEN K ZNA^ENI@ INDEKSA POLITROPY n.

iMEETSQ E]E ODNA WOZMOVNOSTX DLQ OPISANIQ GRAWITACIONNOGO POLQ ZWEZDY. pREDSTAWIM POTENCIAL ' W WIDE

GM '(r) = ; r

GDE = (r) | PARAMETR, IZMENQ@]IJSQ OT = 0 PRI r = 0 DO = 1 PRI

r = R:

= ;d lnd jln'(rr)j:

nETRUDNO POKAZATX, ^TO DLQ POLITROPY (PROWERXTE!)

0( )

= ; 1 1 + 1 ( ) :

gRAFIKI W FUNKCII DOLI RADIUSA x = r=R PRIWEDENY DLQ POLITROP NA RIS. V.5.9.

pOKAVITE, ^TO KRAJNIE KRIWYE NA \TOM RISUNKE, SOOTWETSTWU@]IE n = 0 I n = 5, IME@T WID:

dLQ ABSOL@TNOJ WELI^INY USKORENIQ SILY TQVESTI WNUTRI POLI- TROPY g = d'=dr IZ PERWOJ FORMULY NASTOQ]EGO PUNKTA NAHODIM

mAKSIMALXNOE ZNA^ENIE g DOWOLXNO BYSTRO RASTET S n. mAKSIMALX- NAQ SILA TQVESTI DOSTIGAETSQ NA TEM MENX[IH RASSTOQNIQH OT CENTRA ZWEZDY (W DOLQH RADIUSA), ^EM BOLX[E n (RIS. V.5.10) SM. TAKVE P. 6.3 (S. 185)

pOU^ITELXNO RASSMOTRETX USKORENIE SILY TQVESTI I KAK FUNKCI@ DOLI MASSY q. eSLI PRI \TOM IZMERQTX g W EDINICAH GM=Re2, GDE Re (1; n5 ) R, TO POLU^A@TSQ REZULXTATY, POKAZANNYE NA RIS. V.5.11. oBRATITE WNIMANIE NA PREDELXNU@ KRIWU@, SOOTWETSTWU@]U@ n ! 5.

pOLU^ITE EE PARAMETRI^ESKOE PREDSTAWLENIE, WOSPOLXZOWAW[ISX QWNYM WYRAVENIEM DLQ ( ) PRI n = 5 I ASIMPTOTIKOJ 1 PRI n ! 5.

w PREDELXNOM SLU^AE (5 ; n) << 1 NAIBOLX[AQ SILA TQVESTI DOSTI- GAETSQ PRI q OKOLO 0.2. oNA PREWOSHODIT SILU TQVESTI NA POWERHNOSTI KONFIGURACII ASIMPTOTI^ESKI (n ! 5) PRIMERNO W 40=(5 ; n)2 RAZ.

^TO EDINSTWENNAQ WOZMOVNOSTX ZDESX | \TO ^ISLENNOE RE[ENIE ZADA^I. tAKOWA I BYLA NA[A POZICIQ DO SIH POR. oDNAKO, KAK OKAZYWAETSQ, S TO^NOSTX@ DO MNOVITELEJ PORQDKA EDINICY ZNA^ENIQ BEZRAZMERNYH KO- \FFICIENTOW WSE VE MOVNO POLU^ITX PO PROSTOMU EDINOMU RECEPTU. |TO SU]ESTWENNO, TAK KAK ZAWISIMOSTX OT n BEZRAZMERNOGO KO\FFICIENTA W WYRAVENII TOGO ILI INOGO FIZI^ESKOGO PARAMETRA ZWEZDY ^EREZ G, M , R I R = HARAKTERIZUET STRUKTURNU@ ^UWSTWITELXNOSTX \TOGO PARAMETRA.

oBRATIMSQ K tABL. V.6.1 (S. 180). w PERWOM EE STOLBCE PERE^ISLENY HARAKTERISTIKI POLITROP, RASSMATRIWAW[IESQ W RAZD. V.2 I V.3. wO WTO- ROM STOLBCE PRIWEDENY KOMBINACII OPREDELQ@]IH PARAMETROW G, M, R I R = , IME@]IE TE VE RAZMERNOSTI, ^TO I SOOTWETSTWU@]IE WELI^I- NY PERWOGO STOLBCA. tRETIJ STOLBEC DAET BEZRAZMERNYE KO\FFICIENTY, NA KOTORYE, KAK BYLO WY[E USTANOWLENO, NADO UMNOVITX WYRAVENIQ IZ WTOROGO STOLBCA, ^TOBY POLU^ITX ^ISLENNYE ZNA^ENIQ WELI^IN PERWOGO STOLBCA. nAS INTERESUET HARAKTER ZAWISIMOSTI \TIH KO\FFICIENTOW OT INDEKSA POLITROPY n. o DWUH POSLEDNIH STOLBCAH BUDET SKAZANO POZVE.

eSLI POKA NE OBRA]ATX WNIMANIQ NA PERWU@ I DWE POSLEDNIE STRO- KI TABLICY, TO W OSTALXNYH SLU^AQH MNOVITEL@ M R W HARAKTERNOJ

RAZMERNOJ KOMBINACII SOOTWETSTWUET MNOVITELX ; ; W BEZRAZMER-

1 1

NOM KO\FFICIENTE. zNA^ENIE 1 MENQETSQ S n SRAWNITELXNO SLABO, A 1, KAK UVE BYLO RASSMOTRENO BOLEE PODROBNO, MOVNO S^ITATX, GRUBO GOWORQ, PROPORCIONALXNYM (5;n);1 (SM. P. 2.2). dALEE, POSKOLXKU BEZRAZMERNYJ KO\FFICIENT W WYRAVENII DLQ EG STROGO PROPORCIONALEN (5;n);1, PRA-

WILO SOOTNESENIQ M R () ; ; BEZ BOLX[OJ POGRE[NOSTI MOVNO

1 1

RASPROSTRANITX I NA \TU WELI^INU. oKAZYWAETSQ, ^TO DLQ g ONO TAK- VE RABOTAET (SM. S. 186). pRI n, NE SLI[KOM BLIZKIH K 5, IM MOVNO POLXZOWATXSQ I DLQ OCENKI ZAWISIMOSTI OT n KO\FFICIENTA PRI MR2 W WYRAVENII DLQ MOMENTA INERCII I (SM. NIVE, S. 181).

iTAK, POSKOLXKU 1 MENQETSQ S n SLABO, IZU^ENIE ZAWISIMOSTI BEZ- RAZMERNYH KO\FFICIENTOW OT n SWODITSQ PO SU]ESTWU K ISSLEDOWANI@1 KAK FUNKCII n. dANNYE tABL. V.2.1 (S. 132) POKAZYWA@T, ^TO PROIZ- WEDENIE (5 ; n) 1 IZMENQETSQ PRI n 2 [0 5] W UZKIH PREDELAH, MONOTONNO WOZRASTAQ OT 12.2 PRI n = 0 DO 17.6 PRI n = 5. w UVE UPOMINAW[EMSQ W P. 2.2 PROSTEJ[EM (DOWOLXNO GRUBOM) PRIBLIVENII MOVNO PRINQTX, ^TO

13

1 5 ; n :

kAK UVE GOWORILOSX, KO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI WYBRAN ZDESX TA- KIM OBRAZOM, ^TOBY ON BYL LEGKO ZAPOMINA@]IMSQ (13 | ^ERTOWA D@- VINA) I W TO VE WREMQ DAWAL PO WOZMOVNOSTI HORO[U@ APPROKSIMACI@ DLQ n 2 [3=2 3]. o TO^NOSTI \TOJ OCENO^NOJ FORMULY MOVNO SUDITX PO

tABLICA V.6.1:

oSNOWNYE FIZI^ESKIE HARAKTERISTIKI POLITROP

TOMU, ^TO PRI n = 3=2 ZNA^ENIE 1 ESTX 3.65, PRIWEDENNAQ VE APPROKSIMACIQ DAET 3.71. pRI n = 3 IMEEM SOOTWETSTWENNO 6.90 (TO^NOE ZNA^ENIE) I 6.50 (PRIBLIVENNOE). kROME TOGO, \TO WYRAVENIE PRAWILXNO PEREDAET FUNKCIONALXNU@ FORMU ASIMPTOTI^ESKOJ ZAWISIMOSTI 1 OT n PRI n ! 5, IME@]EJ WID

oSTALOSX USTREMITX ZDESX n K 5 I WOSPOLXZOWATXSQ TEM, ^TO PRI \TOM( ) ! (1 + 2=3);1=2 I 1 ! p3. iNTEGRAL WY^ISLQETSQ, I MY PRIHODIM K PRIWEDENNOJ ASIMPTOTIKE.

eSLI ISPOLXZOWATX RAZLOVENIE ( ) PRI (5 ; n) << 1 IZ uPRAVNENIQ 7 (S. 189), TO IZ POLU^ENNOGO TOLXKO ^TO SOOTNO[ENIQ MOVNO TAKIM VE PUTEM NAJTI I BOLEE TO^NYJ REZULXTAT, UPOMINAW[IJSQ NA S. 131, IMENNO,

tAKIM OBRAZOM, W PERWOM PRIBLIVENII MOVNO S^ITATX, ^TO 1 IZME- NQETSQ S n KAK (5 ;n);1 , A 1 OT n NE ZAWISIT. |TOMU SOOTWETSTWUET SLE-

DU@]EE PROSTEJ[EE PRAWILO: MNOVITELX R W HARAKTERNOJ RAZMERNOJ KOMBINACII POROVDAET MNOVITELX (5 ; n) W ^ISLENNOM KO\FFICIEN-

TE PRI NEJ. pO\TOMU, NAPRIMER, DAWLENIE W CENTRE, PROPORCIONALXNOE GM2=R4, DOLVNO ZAWISETX OT n SILXNO | PRIMERNO KAK (5 ; n);4, A

GRAWITACIONNAQ \NERGIQ POLITROPY | SLABEE, IMENNO, KAK (5 ; n);1, POSKOLXKU EG / R;1.

pROSTOE PRAWILO SOOTNESENIQ L@BOJ STEPENI R W SAMOJ RAZMERNOJ WELI^INE TAKOJ VE STEPENI 5;n W SOOTWETSTWU@]EM BEZRAZMERNOM KO\F- FICIENTE, POVALUJ, BOLX[E, ^EM ^TO-LIBO DRUGOE POZWOLQET NAU^ITXSQ "^UWSTWOWATX" STRUKTURU POLITROP. kAK UVE GOWORILOSX WY[E, O^ENX SU]ESTWENNO TAKVE, ^TO PO TOMU, NASKOLXKO BYSTRO TA ILI INAQ HARAK- TERISTIKA POLITROPY IZMENQETSQ S n, MOVNO SOSTAWITX W OB]EM PRA- WILXNOE PREDSTAWLENIE I O TOM, NASKOLXKO WOOB]E \TA HARAKTERISTI- KA ZWEZDY (NE OBQZATELXNO POLITROPY) ^UWSTWITELXNA K EE WNUTRENNEJ STRUKTURE.

wPRO^EM, POLXZOWATXSQ SFORMULIROWANNYM PRAWILOM NUVNO S OSTO- ROVNOSTX@, TAK KAK ONO NE IMEET UNIWERSALXNOGO HARAKTERA. nAPRI- MER, W SLU^AE MOMENTA INERCII | WELI^INY, KOTORAQ PROPORCIONALX- NA MR2, | BEZRAZMERNYJ KO\FFICIENT PRI n ! 5 WEDET SEBQ KAK (5;n)2 ln(5;n), TOGDA KAK NA[E PRAWILO DAET ZAWISIMOSTX WIDA (5;n)2. pRAWDA, W NAIBOLEE INTERESNOJ OBLASTI ZNA^ENIJ INDEKSA POLITROPY n 2 [3=2 3] PROSTAQ APPROKSIMACIQ

i 601 (5 ; n)2

OBESPE^IWAET WPOLNE PRILI^NU@ TO^NOSTX. pOGRE[NOSTX PRI \TIH n NE PREWY[AET 12%.

pOKAVITE, ^TO SFORMULIROWANNYM RECEPTOM MOVNO POLXZOWATXSQ, ESLI RASSMATRIWAEMAQ WELI^INA WYRAVAETSQ ^EREZ INTEGRALY WIDA

Z R arb dr

0

GDE a I b | TAKIE POSTOQNNYE , ^TO 5a > 1 + b. eSLI VE 1 + b 5a, TO RECEPT NE RABOTAET.

iTAK, ESLI NAS INTERESUET KAKAQ-LIBO GLOBALXNAQ FIZI^ESKAQ HA- RAKTERISTIKA ZWEZDY, TO SLEDUET POSTROITX IZ OSNOWNYH OPREDELQ@]IH PARAMETROW KOMPLEKS SOOTWETSTWU@]EJ RAZMERNOSTI. pO TOMU, S KAKIM POKAZATELEM STEPENI W NEGO WHODIT RADIUS ZWEZDY, OBY^NO MOVNO SRAZU VE SDELATX ZAKL@^ENIE O STEPENI STRUKTURNOJ ^UWSTWITELXNOSTI BEZRAZ- MERNOGO KO\FFICIENTA PRI \TOJ HARAKTERNOJ RAZMERNOJ KOMBINACII.

mOVNO UKAZATX I BOLEE RAFINIROWANNOE PRAWILO POLU^ENIQ OCENOK GLOBALXNYH FIZI^ESKIH HARAKTERISTIK POLITROPY PO EE INDEKSU n.

pREVDE WSEGO, BEZRAZMERNYE RADIUS I MASSU POLITROPY 1 I 1 OKA- ZYWAETSQ POLEZNYM PREDSTAWITX W WIDE

wWODIMYE \TIMI WYRAVENIQMI WELI^INY 1 I 1 IZMENQ@TSQ S n O^ENX MALO I BLIZKI K EDINICE PRI WSEH n 2 [0 5] (tABL. V.6.2). iH MOVNO RASSMATRIWATX KAK UDOBNYE DLQ INTERPOLIROWANIQ POPRAWO^NYE MNO- VITELI. pOLAGAQ 1 = 1 = 1, POLU^AEM PRIBLIVENNYE WYRAVENIQ DLQ1 I 1, POGRE[NOSTX KOTORYH PRI L@BOM n 2 [0 5] NE PREWY[AET 15%.

uKAZANNYE TOLXKO ^TO APPROKSIMACII 1 I 1 POZWOLQ@T SFORMU- LIROWATX ULU^[ENNOE PRAWILO OCENKI WAVNEJ[IH FIZI^ESKIH HARAKTE- RISTIK POLITROPY PO EE INDEKSU n. pUSTX RASSMATRIWAETSQ NEKOTORAQ HARAKTERIZU@]AQ POLITROPU WELI^INA Q, DLQ KOTOROJ IZ SOOBRAVENIJ RAZMERNOSTI MOVNO POLU^ITX PREDSTAWLENIE WIDA

Q = Ga R b R M

tABLICA V.6.2:

pOPRAWO^NYE MNOVITELI 1 I 1 KAK FUNKCII INDEKSA POLITROPY n

GDE | BEZRAZMERNYJ KO\FFICIENT. tOGDA ESLI \TOT KO\FFICIENT PRED- STAWITX W FORME

n 2 [1:5 3] I n 2 [0 5], UKAZANY W DWUH POSLEDNIH STOLBCAH tABL. V.6.1. sAMI VE ZNA^ENIQ DLQ RAZLI^NYH FIZI^ESKIH WELI^IN (UKAZANNYH W ZAGOLOWKAH STOLBCOW) PRIWEDENY W FUNKCII n W tABL. V.6.3. w OTLI^IE OT KO\FFICIENTOW , MNOVITELI MENQ@TSQ S n MEDLENNO I K TOMU VE BLIZKI K EDINICE. eSLI TREBUETSQ LI[X PORQDKOWAQ OCENKA, MOVNO POLAGATX = 1.

o TOM, KAK \TO PRAWILO POLU^ENO, PODROBNO GOWORITX NE BUDEM, OGRANI^IW[ISX SLEDU@]IM ZAME^ANIEM. kO\FFICIENT c W SOOTNO[ENII MASSA { RADIUS (P. 2.2)

n;1 3;n

K = c GM n R n

RASHODITSQ KAK PRI n ! 5, TAK I PRI n ! 0. sWQZX MEVDU I SKONSTRU- IROWANA TAKIM OBRAZOM, ^TOBY DLQ KO\FFICIENTA , FIGURIRU@]EGO W SOOTNO[ENII MASSA { RADIUS, OBESPE^IWALASX BLIZOSTX EGO K EDINICE WO WSEJ OBLASTI IZMENENIQ n OT 0 DO 5.