[ Иванов] Астрофизика звёзд

1.3.wHODQ]AQ W URAWNENIQ STROENIQ POLI-

TROP (1.5) ILI (1.7) WELI^INA c POKA NAM NEIZWESTNA. oNA QWLQETSQ SOBSTWENNYM ZNA^ENIEM KRAEWOJ ZADA^I (1.5) { (1.6). oKAZYWAETSQ, ODNAKO, ^TO \TU KRAEWU@

ZADA^U MOVNO PREOBRAZOWATX TAK, ^TO MY POLU^IM OBY^NU@ ZADA^U kO- [I DLQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ WTOROGO PORQDKA, ISSLEDOWATX I ^ISLENNO RE[ATX KOTORU@ GORAZDO UDOBNEE. iMENNO TAK, RE[AQ \TU ZA- DA^U kO[I, I RASS^ITYWA@T OBY^NO STROENIE POLITROP. k SOVALENI@, ANALITI^ESKOE SWEDENIE KRAEWOJ ZADA^I K ZADA^E kO[I, LEGKO OSU]EST- WIMOE DLQ POLITROP, DLQ BOLEE REALISTI^NYH MODELEJ ZWEZD SDELATX UVE NEWOZMOVNO.

dLQ LU^[EGO UQSNENIQ FIZIKI DELA MY PREDPO^TEM PRI UKAZANNOM TOLXKO ^TO SWEDENII K ZADA^E kO[I NE PREOBRAZOWYWATX URAWNENIQ (1.5) DALX[E, A, NAOBOROT, WERNEMSQ NAZAD K ISHODNOMU URAWNENI@ GIDROSTA- TI^ESKOGO RAWNOWESIQ, ZAPISAW EGO TAK:

dPdr = ;g :

uSKORENIE SILY TQVESTI g ESTX GRADIENT GRAWITACIONNOGO POTENCIALA

(SO ZNAKOM MINUS):

g = ;ddr :

w ZWEZDE I USKORENIE SILY TQVESTI, I POTENCIAL OTRICATELXNY. nA[I g I | \TO IH ABSOL@TNYE WELI^INY. s U^ETOM POLITROPNOGO SOOTNO- [ENIQ P = K 1+ n1 URAWNENIE GIDROSTATIKI PRINIMAET WID

n +n 1 K n1 ddr = ddr :

iNTEGRIRUQ, NAHODIM OTS@DA SWQZX MEVDU PLOTNOSTX@ I POTENCIALOM W

pOSTOQNNAQ INTEGRIROWANIQ WZQTA RAWNOJ NUL@, ^TO SOOTWETSTWUET TO- MU, ^TO POTENCIAL OTS^ITYWAETSQ OT POWERHNOSTI ZWEZDY, TAK ^TO = 0 PRI r = R.

pONQTNO, ^TO STROENIE SAMOGRAWITIRU@]EJ MASSY DOLVNO POLNOS- TX@ OPREDELQTXSQ PROSTRANSTWENNYM RASPREDELENIEM POTENCIALA. w RASSMATRIWAEMOM SLU^AE SWQZX MEVDU POTENCIALOM I RASPREDELENIEM WE]ESTWA W ZWEZDE SOWSEM PROSTA I DAETSQ FORMULOJ (1.9). rAS^ET STRUK- TURY POLITROPY SWEDEN TEM SAMYM K NAHOVDENI@ POTENCIALA .

kAK IZWESTNO, GRAWITACIONNYJ POTENCIAL UDOWLETWORQET URAWNE- NI@ pUASSONA

= ;4 G

GDE | OPERATOR lAPLASA. w NA[EM SLU^AE (SFERI^ESKAQ SIMMETRIQ PL@S TOLXKO ^TO NAJDENNAQ SWQZX I ) ONO IMEET WID

pEREJDEM ZDESX K BEZRAZMERNYM PEREMENNYM. pREVDE WSEGO, USLO- WIMSQ IZMERQTX POTENCIAL W DOLQH EGO ZNA^ENIQ W CENTRE ZWEZDY c, POLOVIW

= c

^TO SOGLASNO (1.9) MOVNO ZAPISATX I TAK:

tAKIM OBRAZOM, | \TO BEZRAZMERNYJ POTENCIAL. dALEE, WWEDEM BEZ- RAZMERNOE RASSTOQNIE OT CENTRA , POLOVIW

r = r1

I WYBEREM r1 TAK, ^TOBY WID URAWNENIQ DLQ MAKSIMALXNO UPROSTILSQ, IMENNO, ^TOBY IZ NEGO IS^EZLI WSE POSTOQNNYE. wWEDEM DLQ \TOGO DWA POSLEDNIH WYRAVENIQ W URAWNENIE pUASSONA I WOZXMEM

rIS. V.1.1:

rOBERT |MDEN (Robert Emden, 1862 { 1940).

eGO OSNOWNAQ RABOTA | KNIGA ,,gAZOWYE [ARY" (,,Gaskugeln") | WY[LA W 1907 G. eE CITIRU@T DO SIH POR, WPRO^EM, PO-WIDIMOMU, BOLX[E PO TRADICII, ^EM PO SU]ESTWU.

nA TITULXNOM LISTE \TOJ KNIGI MOVNO PRO^ESTX, ^TO W MOMENT EE OPUBLIKOWANIQ |MDEN BYL PRIWAT-DOCENTOM FIZIKI I METEOROLOGII m@NHENSKOJ WYS[EJ TEHNI^ESKOJ [KOLY.

uRAWNENIE (1.12) IZWESTNO KAK URAWNENIE lEJNA { |MDENA.

pRI EGO WYWODE PREDPOLAGALOSX, ^TO WY POMNITE TOT FUNDAMENTALXNYJ FAKT, ^TO POTENCIAL UDOWLETWORQET URAWNENI@ pUASSONA. mOVNO, KONE^- NO, POLU^ITX (1.12) I NEPOSREDSTWENNO IZ ISHODNYH URAWNENIJ (1.1), WWEDQ FUNKCI@ S POMO]X@ RAWENSTWA = c n ^ISTO FORMALXNO, BEZ WYQSNENIQ EE FIZI^ESKOGO SMYSLA. mOVETE PRODELATX \TO W KA^ESTWE UPRAVNENIQ.

o^EWIDNO, ^TO (0) = 1 | \TO SLEDUET IZ OPREDELENIQ FUNKCII . dALEE, ESLI INTERESOWATXSQ TOLXKO RASPREDELENIQMI PLOTNOSTI, NE IME-

@]IMI SINGULQRNOSTI PRI r = 0, TAK ^TO ! c 6= 1 PRI r ! 0, TO0(0) = 0, POSKOLXKU USKORENIE SILY TQVESTI g = ;d =dr / 0( ) DOLVNO W CENTRE ZWEZDY OBRA]ATXSQ W NULX. mOVNO DATX I FORMALXNYJ WYWOD. dLQ NESINGULQRNYH RASPREDELENIJ PLOTNOSTI dP=dr ! 0 PRI r ! 0 (SM.

TEKST SRAZU ZA FORMULOJ (1.1)). tAK KAK P / 1+ n1 , TO OTS@DA SLEDUET, ^TO (d =dr)c = 0, A TOGDA, SOGLASNO FORMULE PERED (1.9), I (d =dr)c = 0, T.E. 0(0) = 0. iTAK, PRI NESINGULQRNYH RASPREDELENIQH PLOTNOSTI, KO- TORYE TOLXKO I PREDSTAWLQ@T FIZI^ESKIJ INTERES, NA^ALXNYE USLOWIQ K URAWNENI@ (1.12) IME@T WID:

PRIWEDENNOGO RE[ENIQ TREBUET IZOBRETATELXNOSTI. wPRO^EM, PROWERKA TOGO, ^TO ONO UDOWLETWORQET URAWNENI@ I GRANI^NYM USLOWIQM, NE SO- STAWLQET TRUDA.

pOPROBUJTE NAJTI WSE TRI RE[ENIQ SAMOSTOQTELXNO. pODROBNYJ IH WYWOD ESTX U ~ANDRASEKARA, ,,wWEDENIE W U^ENIE O STROENII ZWEZD", GL. IV, RAZD. 4. pO^EMU-TO ^ASTO OKAZYWAETSQ, ^TO U MNOGIH IZ IZU^AW[IH TEORI@ POLI- TROP SO WREMENEM W PAMQTI OSTAETSQ TOLXKO TOT W OB]EM WTOROSTEPENNYJ FAKT, ^TO DLQ KAKIH-TO TREH ^ASTNYH SLU^AEW URAWNENIE lEJNA { |MDENA RE[AETSQ W QWNOM WIDE. nADE@SX, S WAMI BUDET NE TAK.

uPOMQNEM E]E, ^TO PRI MALYH FUNKCI@ |MDENA MOVNO WY^ISLITX PO EE RAZLOVENI@ W STEPENNOJ RQD

( ) = 1 + a1 2 + a2 4 + a3 6 + : : :

pOLU^ITE a1 I a2 PODSTANOWKOJ PRIWEDENNOGO RAZLOVENIQ W URAWNENIE lEJ- NA { |MDENA (1.12) I GRANI^NYE USLOWIQ (1.13). tAKIM VE OBRAZOM MOVNO NAJTI a3 I a4, NO \TO TREBUET GROMOZDKIH SKU^NYH WYKLADOK. dRUGOJ SPO- SOB SM. W ZADA^E 7, S. 189.

kOGDA FUNKCIQ |MDENA NAJDENA, T.E. POLU^ENO RASPREDELENIE GRA- WITACIONNOGO POTENCIALA, STROENIE POLITROPY TEM SAMYM FAKTI^ESKI OPREDELENO. tAK, PROFILX PLOTNOSTI W ZWEZDE, T.E. =c, DAETSQ FUNKCIEJn. |TO WIDNO, NAPRIMER, IZ TOGO, ^TO URAWNENIE lEJNA { |MDENA | \TO URAWNENIE pUASSONA, W LEWOJ ^ASTI KOTOROGO STOIT , A W PRAWOJ | WE- LI^INA, PROPORCIONALXNAQ PLOTNOSTI, TAK ^TO n / . dALEE, DLQ CENTRA ZWEZDY = 1, A = c, I PO\TOMU = c n. wYRAVENIE DRUGIH FIZI- ^ESKIH PEREMENNYH ^EREZ FUNKCII |MDENA BUDET RASSMOTRENO NEMNOGO POZVE. oSNOWNOJ CELX@ \TOGO PUNKTA BYLO POKAZATX, ^TO RAS^ET STRO- ENIQ POLITROPY MOVNO PREDSTAWITX KAK ZADA^U kO[I DLQ NAHOVDENIQ POTENCIALA, ^TO I SDELANO.

WAVNOJ FIZI^ESKOJ WELI^INY NE SODERVIT KONSTANT, NAHODIMYH ^IS- LENNO.

fORMULU DLQ GRAWITACIONNOJ \NERGII POLITROPY NUVNO POMNITX. dOSTATO^NO ZAPOMNITX KO\FFICIENT ! = 3=(5 ; n), MNOVITELX VE GM2=R ,,SAM SOBOJ" KONSTRUIRUETSQ IZ HARAKTERNYH PARAMETROW IZ SO- OBRAVENIJ RAZMERNOSTI: [\NERGIQ] = [SILA] [RASSTOQNIE] = [GM2=R2] [R] = [GM2=R]. nAPOMNIM, ^TO W P. III.2.1 MY UVE POLXZOWALISX TOLXKO ^TO NAJDENNYM WYRAVENIEM DLQ EG, PRINQW EGO NA WERU. nE RAZ BUDET ONO ISPOLXZOWANO I W DALXNEJ[EM.

oBSUVDENIE. 1) jEGj ESTX \NERGIQ, WYDELQ@]AQSQ PRI SVATII MAS- SY M W POLITROPNYJ [AR RADIUSA R. pRI FIKSIROWANNYH M I R \TA \NERGIQ TEM BOLX[E, ^EM BOLX[E INDEKS POLITROPY n. |TO ZNA^IT, ^TO STEPENX KONCENTRACII MATERII K CENTRU ZWEZDY S ROSTOM n UWELI^IWA- ETSQ. ~TO \TO DOLVNO BYTX TAK, MOVNO BYLO BY ZAKL@^ITX, KONE^NO, UVE I PRQMO IZ OSNOWNOGO POLITROPNOGO SOOTNO[ENIQ P = K 1+ n1 (POJMITE, PO^EMU!). w \TOM SMYSLE OBSUVDAEMAQ FORMULA INTERESNA NE KA^ESTWEN- NO, A KOLI^ESTWENNO: KO\FFICIENT 3=(5;n) SLUVIT INTEGRALXNOJ MEROJ STEPENI KONCENTRACII MATERII K CENTRU.

2) iZ FORMULY DLQ EG QSNO WIDNA WYDELENNOSTX SLU^AQ n = 5: ESLI M I R FIKSIROWANY, A n ! 5, TO GRAWITACIONNAQ \NERGIQ STREMITSQ K BESKONE^NOSTI, T.E. STEPENX KONCENTRACII WE]ESTWA K CENTRU PRI n = 5 BESKONE^NO WELIKA. wPRO^EM, \TOT REZULXTAT PRAWILXNEE INTERPRETI- ROWATX INA^E: ESLI, ZAFIKSIROWAW MASSU I PLOTNOSTX W CENTRE ZWEZDY, USTREMITX n K 5, TO RADIUS ZWEZDY DOLVEN STREMITXSQ K BESKONE^NOSTI. iMENNO \TA INTERPRETACIQ SOOTWETSTWUET PERWONA^ALXNOJ POSTANOWKE ZADA^I, W KOTOROJ S^ITAETSQ, ^TO OSTAETSQ W CENTRE ZWEZDY KONE^NOJ. iTAK, RADIUS ZWEZDY, POSTROENNOJ KAK POLITROPA S n = 5, BYL BY BES- KONE^EN (PRI KONE^NOJ MASSE, SM. S. 134).

pROSTYE QWNYE WYRAVENIQ MOVNO NAJTI DLQ WSEH OSNOWNYH PARAMETROW POLITROP. pRAWDA, W \TI WYRAVENIQ WHODQT NEKOTO- RYE ZAWISQ]IE OT INDEKSA POLITROPY n ^ISLOWYE KO\FFICIENTY. nO ESLI IMETX

W WIDU LI[X NESKOLXKO NAIBOLEE WAVNYH, ^A]E WSEGO ISPOLXZUEMYH WE- LI^IN, TO DOSTATO^NO OPREDELITX IZ URAWNENIQ lEJNA { |MDENA WSEGO DWA ^ISLA (ZNA^ENIQ KOTORYH, KONE^NO, ZAWISQT OT n). oNI DAWNYM-DAWNO WY^ISLENY (^TO POTREBOWALO RE[ENIQ URAWNENIQ lEJNA { |MDENA). mY BUDEM S^ITATX \TI ^ISLA IZWESTNYMI. |TO DAST WOZMOVNOSTX RASSMOT- RETX OB]IE ZAKONOMERNOSTI STROENIQ POLITROP DO IZU^ENIQ DETALEJ IH

STRUKTURY.

w \MDENOWSKOM PODHODE UDOBNO SNA^ALA PRINQTX ZA ISHODNYE HARAK- TERISTIKI MODELI CENTRALXNU@ PLOTNOSTX c I POLITROPNYJ PARAMETR K, A OSTALXNYE WELI^INY WYRAVATX ^EREZ NIH. pOKAVEM, KAK \TO DELA- ETSQ.

rADIUS. oBOZNA^IM ^EREZ 1 ZNA^ENIE \MDENOWSKOJ BEZRAZMERNOJ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ, PRI KOTOROJ r = R:

R = 1 r1:

pOSKOLXKU ( ) | POTENCIAL, OTS^ITYWAEMYJ OT EGO ZNA^ENIQ NA PO- WERHNOSTI, TO ( 1) = 0, T.E. 1 ESTX (PERWYJ) KORENX FUNKCII |MDENA. mOVNO SKAZATX I INA^E: TAK KAK = c n I NA POWERHNOSTI ZWEZDY PLOT- NOSTX OBRA]AETSQ W NULX, TO ( 1) = 0.

wELI^INA 1 | ODIN IZ TEH DWUH ^ISLOWYH PARAMETROW, O KOTORYH TOLXKO ^TO GOWORILOSX. sLEDUET IMETX W WIDU, ^TO 1 DOWOLXNO BYST- RO MENQETSQ S n I NE PRI WSEH n ESTX ^ISLO PORQDKA EDINICY (SM. tABL. V.2.1, STR. 132). oTKLADYWAQ DETALXNOE OBSUVDENIE ZAWISIMOS- TI PARAMETROW POLITROP OT n DO BOLEE POZDNEGO MESTA (RAZD. 6), UKAVEM

w ITOGE OKAZYWAETSQ, ^TO PROIZWEDENIE (5 ; n) 1 ZAWISIT OT n SLABO.

mOVNO WYSKAZATX PREDPOLOVENIE, ^TO 1 W OKRESTNOSTI n = 5 RAZLAGAETSQ W RQD PO STEPENQM 5 ; n:

bYLO BY INTERESNO USTANOWITX, TAK LI \TO, I | W SLU^AE POLOVITELXNOGO OTWETA | NAJTI NESKOLXKO PERWYH KO\FFICIENTOW ai. |TO DALO BY SPOSOB POLU^ENIQ 1 BEZ ^ISLENNOGO RE[ENIQ URAWNENIQ lEJNA { |MDENA. pOPRO-

BUJTE ZANQTXSQ \TOJ ZADA^EJ. eDINSTWENNOE, ^TO UDALOSX SDELATX MNE, | \TO POLU^ITX a1, IMENNO, a1 = 12 ;;1217 + ln 2 = ;0:3618.

wWODQ W FORMULU DLQ RADIUSA R = 1r1 WYRAVENIE DLQ WELI^INY r1, NAZYWAEMOJ INOGDA \MDENOWSKOJ EDINICEJ DLINY, ^EREZ K I c (FORMULA (1.11), STR. 125), OKON^ATELXNO NAHODIM

tABLICA V.2.1:

dWE WAVNEJ[IE ^ISLOWYE KONSTANTY, 1 I 1, SWQZANNYE S FUNKCIEJ |MDENA

0.12.5045 4.6159

oBSUVDENIE. 1) dLQ POLU^ENIQ OCENKI RADIUSA MOVNO PRI L@BOM n BRATX 1 13=(5 ; n). kO\FFICIENT PROPORCIONALXNOSTI W \TOM WY- RAVENII WZQT TAKIM, ^TOBY DOSTIGALASX PO WOZMOVNOSTI HORO[AQ AP- PROKSIMACIQ DLQ 1:5 n 3 I ^TOBY W TO VE WREMQ ON BYL LEGKO ZAPOMINA@]IMSQ (13 | ^ERTOWA D@VINA). o TO^NOSTI \TOJ OCENO^NOJ FORMULY MOVNO SUDITX PO TOMU, ^TO PRI n = 3=2 ZNA^ENIE 1 ESTX 3.65, PRIWEDENNAQ VE APPROKSIMACIQ DAET 3.71 PRI n = 3 IMEEM SOOTWET- STWENNO 6.90 (TO^NOE ZNA^ENIE) I 6.50 (PRIBLIVENNOE). kROME TOGO, \TO WYRAVENIE PRAWILXNO PEREDAET FUNKCIONALXNU@ FORMU ZAWISIMOSTI 1

OT n PRI n ! 5.

rADIUS POLITROPY S FIKSIROWANNYMI K I c, SOGLASNO (2.2), NE- OGRANI^ENNO RASTET PRI n ! 5. |TO KA^ESTWENNOE ZAKL@^ENIE UVE BY- LO SDELANO RANX[E IZ DRUGIH SOOBRAVENIJ (SM. S. 130), ODNAKO TEPERX POQWILASX I KOLI^ESTWENNAQ OCENKA SKOROSTI RASHODIMOSTI. wPRO^EM, BOLX[OGO FIZI^ESKOGO INTERESA \TOT REZULXTAT NE PREDSTAWLQET, TAK KAK POLITROPY S n, MALO OTLI^A@]IMISQ OT 5, DALEKI OT REALISTI^-

NYH MODELEJ ZWEZD.

2) e]E ODNO ZAKL@^ENIE IZ OBSUVDAEMOJ FORMULY | WYDELENNOSTX POLITROPY S n = 1. dLQ NEE PRI ZADANNOM K RADIUS NE ZAWISIT OT CENTRALXNOJ PLOTNOSTI. oN RAWEN ( K=2G)1=2. pRI n < 1 S UWELI^ENIEMc RADIUS RASTET, PRI n > 1 | UBYWAET.

ESTX WTORAQ HARAKTERNAQ ^ISLOWAQ KONSTANTA, SWQZANNAQ S FUNKCIEJ |M- DENA. eE ZNA^ENIQ TAKVE DANY W tABL. V.2.1. oNI MONOTONNO UBYWA@T OT 1 = 2p6 = 4:899 PRI n = 0 DO 1p= 1:723 PRI n = 4:82, POSLE ^EGO SLEGKA WOZRASTA@T I DOSTIGA@T 1 = 3 = 1:732 PRI n = 5.

w ASTROFIZI^ESKOJ LITERATURE POSTOQNNO WOSPROIZWODQTSQ ZNA^ENIQ 1 I1 IZ tABL. 4 KNIGI s. ~ANDRASEKARA ,,wWEDENIE W U^ENIE O STROENII ZWEZD". oDNAKO W \TOJ TABLICE IME@TSQ NETO^NOSTI. tAK, PRI n = 4:9 WERNYE ZNA- ^ENIQ 1 I 1 TAKOWY: 1 = 171:43, 1 = 1:7246, TOGDA KAK ~ANDRASEKAR DAET 1 = 169:47, 1 = 1:7355. w ^ASTNOJ BESEDE ~ANDRASEKAR SOOB]IL AW- TORU, ^TO NETO^NOSTI W EGO TABLICE PRI n = 4:9 I n = 0:5 WYZWANY TEM, ^TO DLQ \TIH ZNA^ENIJ INDEKSA POLITROPY ON POLXZOWALSQ REZULXTATAMI ^ISLENNOGO RE[ENIQ URAWNENIQ lEJNA { |MDENA, WYPOLNQW[EGOSQ E]E SA- MIM |MDENOM (!), TOGDA KAK DLQ DRUGIH n ISPOLXZOWALISX BOLEE POZDNIE | I SOOTWETSTWENNO BOLEE TO^NYE | ^ISLENNYE RE[ENIQ.

wELI^INU 1 MOVNO ZAPISATX I W DRUGOJ FORME, KOTORAQ NE TREBUET

dLQ \TOGO NUVNO n( ) W PREDSTAWLENII 1 W WIDE INTEGRALA ZAMENITX NA LEWU@ ^ASTX URAWNENIQ lEJNA { |MDENA (SO ZNAKOM MINUS) I WYPOLNITX INTEGRIROWANIE. mEVDU PRO^IM, WYRAVENIE 1 W FORME (2.30) POZWOLQET LEGKO, EDWA LI NE W UME, NAJTI PRIWEDENNYE TOLXKO ^TO ZNA^ENIQ 1 DLQ n = 0 I n = 5. dOSTATO^NO WSPOMNITX SOOTWETSTWU@]IE QWNYE WYRAVE- NIQ DLQ .