[ Иванов] Астрофизика звёзд

NA PORQDKE WELI^INY, IZ (1.5) NAHODIM TOGDA

3

GP2

ILI

!2 43 G

GDE ! = 2 =P | UGLOWAQ SKOROSTX WRA]ENIQ. kOGDA DOSTIGAETSQ RA- WENSTWO, ATMOSFERA, OKRUVA@]AQ NA[U IDEALIZIROWANNU@ NEDEFORMI- RUEMU@ ZWEZDU, ULETAET S NEE. w DEJSTWITELXNOSTI CENTROBEVNYE SILY DEFORMIRU@T ZWEZDU, PRI^EM PO-RAZNOMU W ZAWISIMOSTI OT STEPENI KON- CENTRACII WE]ESTWA K CENTRU. s U^ETOM \TOGO ^ISLENNYJ KO\FFICIENT W PRAWOJ ^ASTI BUDET DRUGIM. a. pUANKARE W KONCE XIX WEKA POKAZAL, ^TO

PRI TWERDOTELXNOM WRA]ENII DEFORMIRUEMOJ ZWEZDY S PROIZWOLXNYM RASPREDELENIEM PLOTNOSTI

dOKAZATELXSTWO SM. W P. 1.6.

eSLI SDELATX TO ILI INOE DOPOLNITELXNOE DOPU]ENIE, TO MOVNO, KONE^NO, POLU^ITX I BOLEE SILXNYE OGRANI^ENIQ NA !. tAK, DLQ TWERDO- TELXNO WRA]A@]IHSQ SFEROIDOW mAKLORENA | FIGUR RAWNOWESIQ NESVI- MAEMOJ VIDKOSTI | IMEEM !2 < 0:45 G , PRI^EM ONI USTOJ^IWY, LI[X ESLI !2 < 0:37 G . dLQ MODELI rO[A, T.E. DLQ TO^E^NOJ MASSY, OKRUVEN- NOJ NESVIMAEMOJ OBOLO^KOJ PRENEBREVIMO MALOJ MASSY, !2 < 0:72 G . dOKAZATELXSTWO POSLEDNEGO REZULXTATA SM. W P. ??.

kAK WIDIM, NA[I NESTROGIE RASSUVDENIQ (WEDX NEDEFORMIRUEMAQ ZWEZDA | FIKCIQ) DALI DOSTATO^NO HORO[U@ OCENKU. dLQ REALISTI^NYH MODELEJ ZWEZD KO\FICIENT PRI G W PRAWOJ ^ASTI DOLVEN BYTX ZAKL@^EN MEVDU 4 =3 (NEDEFORMIRUEMAQ ZWEZDA) I 0:72 (MODELX rO[A). mY W

PO\TOMU > 1011 G/SM3, TAK ^TO \TO MOVET BYTX TOLXKO NEJTRONNAQ ZWEZDA, NO NIKAK NE BELYJ KARLIK (DLQ NIH 105 107 G/SM3 ). pREDPO- LOVENIE O TOM, ^TO MY IMEEM ZDESX DELO S PULXSACIQMI BELOGO KARLIKA,

38 gL. III. mEHANI^ESKOE RAWNOWESIE ZWEZDY

SEJ^AS NE W OBSUVDENII OB]IH URAWNENIJ ZWEZDNOJ GIDRODINAMIKI, A W PERWU@ O^EREDX W TOM, ^TOBY POKAZATX, ^ASTNYM SLU^AEM KAKIH BOLEE OB]IH URAWNENIJ QWLQETSQ RASSMATRIWAW[EESQ WY[E PROSTEJ[EE URAW- NENIE MEHANI^ESKOGO RAWNOWESIQ (1.1).

iTAK, UBEDIMSQ, ^TO (1.1) | \TO DEJSTWITELXNO ^ASTNYJ SLU^AJ (1.12) { (1.13). pRI OTSUTSTWII MAKROSKOPI^ESKIH DWIVENIJ (v = 0) I WNE[NIH POLEJ (F = 0) (1.12) PEREHODIT W URAWNENIE GIDROSTATIKI

eSLI, DALEE, IMEETSQ SFERI^ESKAQ SIMMETRIQ, TO P = P(r) ' = '(r),

pODSTANOWKA POSLEDNEGO WYRAVENIQ W URAWNENIE GIDROSTATI^ESKOGO RAW- NOWESIQ (1.17) PRIWODIT EGO K WIDU (1.1).

zAMETIM, ^TO DLQ POTENCIALA W SFERI^ESKI-SIMMETRI^NOJ ZWEZDE IZ (1.19) LEGKO NAJTI SLEDU@]EE WYRAVENIE (r R):

kAKOW FIZI^ESKIJ SMYSL KAVDOGO IZ ^LENOW W PRAWOJ ^ASTI \TOJ FORMULY? wOSPOLXZOWAW[ISX PREDPOLOVENIEM O SFERI^ESKOJ SIMMETRII, POLU^ITE

(1.20) TAKVE IZ (1.14).

rASSMOTRIM TEPERX MEHANI^ESKOE RAW- NOWESIE ODINO^NOJ NEMAGNITNOJ ZWEZDY, TWERDOTELXNO WRA]A@]EJSQ S POSTOQN- NOJ UGLOWOJ SKOROSTX@ ! I OBLADA@- ]EJ CILINDRI^ESKOJ SIMMETRIEJ OTNO-

SITELXNO OSI WRA]ENIQ. pUSTX r1 | RASSTOQNIE PROIZWOLXNOJ TO^KI ZWEZDY OT OSI WRA]ENIQ, KOTORU@ MY PRIMEM ZA OSX z. k SILE TQVESTI ;r ' W \TOM SLU^AE DOBAWLQETSQ NAPRAWLENNAQ OT OSI WRA]ENIQ CENT- ROBEVNAQ SILA !2r1, GDE r1 | WEKTOR, LEVA]IJ W PLOSKOSTI, PERPENDI- KULQRNOJ K OSI WRA]ENIQ I SOEDINQ@]IJ \TU OSX I RASSMATRIWAEMU@ TO^KU (TAK ^TO r1 = jr1j). uSLOWIE RAWNOWESIQ WMESTO (1.16) PRINIMAET PO\TOMU WID

(1.22)

tAK KAK PO SIMMETRII ZADA^I WSE WELI^INY MOGUT ZAWISETX LI[X OT z I r1, TO WEKTORNOE URAWNENIE (1.22) \KWIWALENTNO DWUM SKALQRNYM

KOTORYE PO-PREVNEMU DOLVNY RE[ATXSQ SOWMESTNO S URAWNENIEM pUAS-

SONA (1.13).

nA PERWYJ WZGLQD KAVETSQ, ^TO ZAMENA SFERI^ESKOJ SIMMETRII NA CILINDRI^ESKU@, OBUSLOWLENNAQ WRA]ENIEM, WEDET K TOMU, ^TO P , I ' STANOWQTSQ FUNKCIQMI DWUH PEREMENNYH | r1 I z. w DEJSTWITELX- NOSTI POLOVENIE WSE VE NEMNOGO PRO]E. pRI TWERDOTELXNOM WRA]ENII CENTROBEVNAQ SILA, O^EWIDNO, OBLADAET POTENCIALOM (INDEKS R | OT

40 gL. III. mEHANI^ESKOE RAWNOWESIE ZWEZDY

(\KWIPOTENCIALXNAQ, ILI UROWENNAQ POWERHNOSTX). pOSKOLXKU W (1.25) GRADIENT DAWLENIQ WS@DU ANTIPARALLELEN GRADIENTU POTENCIALA, TO W PROIZWOLXNOJ TO^KE IZOBARI^ESKAQ I \KWIPOTENCIALXNAQ POWERHNOS- TI, PROHODQ]IE ^EREZ NEE, DOLVNY KASATXSQ DRUG DRUGA. qSNO, ^TO TAK MOVET BYTX TOLXKO TOGDA, KOGDA SEMEJSTWA POWERHNOSTEJ P = const I ' = const SOWPADA@T. pO\TOMU NA L@BOJ UROWENNOJ POWERHNOSTI DAWLE- NIE POSTOQNNO, A ZNA^IT, ONO QWLQETSQ FUNKCIEJ ODNOJ PEREMENNOJ |

POKAZAW, ^TO r I r'e KOLLINEARNY.

tAKIM OBRAZOM, W RAWNOWESNOJ TWERDOTELXNO WRA]A@]EJSQ ZWEZDE DAWLENIE I PLOTNOSTX (A POTOMU, W SILU URAWNENIQ SOSTOQNIQ, TAKVE I TEMPERATURA) QWLQ@TSQ FUNKCIQMI ODNOJ PEREMENNOJ | POLNOGO POTEN-

CIALA 'e. sAM VE \TOT POTENCIAL ZAWISIT, RAZUMEETSQ, OT DWUH PEREMENNYH, NAPRIMER, RASSTOQNIQ OT OSI WRA]ENIQ r1 I RASSTOQNIQ OT PLOSKOSTI \KWATORA jzj. ~ASTO WMESTO CILINDRI^ESKIH KOORDINAT r1 z ISPOLXZU@T SFERI^ESKIE KOORDINATY r | RASSTOQNIE OT CENTRA I cos , GDE| POLQRNYJ UGOL, OTS^ITYWAEMYJ OT OSI WRA]ENIQ. pONQTNO, ^TO WOZMOVEN I TAKOJ PODHOD: S^ITATX, ^TO POTENCIAL, DAWLENIE I TEMPERATURA QWLQ@TSQ FUNKCIQMI ODNOJ TOLXKO PLOTNOSTI, EE VE RASSMATRIWATX KAK FUNKCI@ DWUH PEREMENNYH | (r1 z) ILI (r ).

dOKAZANNYE TOLXKO ^TO FAKTY IGRA@T SU]ESTWENNU@ ROLX W TEORII WRA]A@]IHSQ ZWEZD. zAME^ATELXNO, ^TO \TI REZULXTATY OSTA@TSQ W SILE I W OB]EM SLU^AE DIFFERENCIALXNOGO WRA]ENIQ S ! = !(r1), SM. ZADA- ^U 4, S. 85. oNI LEVAT W OSNOWE BOLX[INSTWA METODOW RAS^ETA MODELEJ WRA]A@]IHSQ ZWEZD.

w ZAKL@^ENIE POKAVEM, ^TO UGLOWAQ SKOROSTX ZWEZDY, WRA]A@]EJSQ KAK TWERDOE TELO, OGRANI^ENA SWERHU (TAK NAZYWAEMYJ PREDEL pUANKARE,

GDE | SREDNQQ PLOTNOSTX ZWEZDY. pRIMENIM K (1.24) OPERATOR lAPLASA. tAK KAK W CILINDRI^ESKIH KOORDINATAH ON IMEET WID

GDE | AZIMUTALXNYJ UGOL, TO W SILU (1.23) IMEEM 'R = 2!2, TOG- DA KAK ', SOGLASNO URAWNENI@ pUASSONA (1.13), RAWNO 4 G . pO\TOMU

UBEGANIQ S EGO POWERHNOSTI ve ' 600 KM/S, ^TO TAKVE SU]ESTWENNO BOLX- [E WTOROJ KOSMI^ESKOJ SKOROSTI DLQ zEMLI (11 KM/S). tAKOGO VE PORQDKA (500 1000 KM/S) SKOROSTI UBEGANIQ ve I U WSEH ZWEZD gp. wPRO^EM, ZEM- NOE GRAWITACIONNOE POLE, QWLQ@]EESQ DLQ ^ELOWEKA ESTESTWENNOJ EDI- NICEJ IZMERENIQ | OB \TOM POZABOTILASX BIOLOGI^ESKAQ \WOL@CIQ, | DLQ PRIRODY W ASTRONOMI^ESKOM MAS[TABE NI^EM NE WYDELENO. pO\TOMU ONO NE MOVET SLUVITX PODHODQ]IM \TALONOM PRI IZMERENII GRAWITA- CIONNYH POLEJ. eSTESTWENNYJ STANDART DOSTAWLQET SKOROSTX SWETA c. eSLI ve << c, TO GRAWITACIONNOE POLE NA POWERHNOSTI ZWEZDY SLEDUET S^ITATX SLABYM, PRI ve c | SILXNYM. w PERWOM SLU^AE PRIMENIMO KLASSI^ESKOE NX@TONOWSKOE OPISANIE POLQ TQGOTENIQ, WO WTOROM NEOB- HODIMO POLXZOWATXSQ \JN[TEJNOWSKOJ OB]EJ TEORIEJ OTNOSITELXNOSTI

(oto).

pO\TOMU SKOROSTX UBEGANIQ | PRQMAQ MERA GRAWITACIONNOGO POTENCIA- LA NA POWERHNOSTI. tEPERX PONQTNO, ^TO ZA MERU TOGO, SKOLX SILXNYM QW- LQETSQ GRAWITACIONNOE POLE W PROIZWOLXNOJ TO^KE, ESTESTWENNO PRINQTX ZNA^ENIE BEZRAZMERNOGO OTNO[ENIQ j'j=c2, GDE ' | POTENCIAL. oKAZYWA- ETSQ, ^TO WNUTRI ZWEZDY POTENCIAL PO PORQDKU WELI^INY NE OTLI^AETSQ OT EGO ZNA^ENIQ NA POWERHNOSTI. |TO POKAZYWA@T RAS^ETY MODELEJ ZWEZD, KAK OBY^NYH, TAK I KOMPAKTNYH. pO\TOMU, ESLI GM=R << c2, TO GRAWI- TACIONNOE POLE MOVNO S^ITATX SLABYM PO WSEJ ZWEZDE. iNA^E \TO MOVNO SFORMULIROWATX TAK. oBOZNA^IM ^EREZ RG RADIUS TELA MASSY M, PRI KOTOROM SKOROSTX UBEGANIQ S EGO POWERHNOSTI, RASS^ITANNAQ PO KLASSI- ^ESKOJ FORMULE (1.30), RAWNA SKOROSTI SWETA:

wELI^INU RG NAZYWA@T GRAWITACIONNYM, ILI [WARC[ILXDOWSKIM RA-

DIUSOM MASSY M. eSLI REALXNYJ RADIUS TELA R >> RG, EGO GRAWITACI-

ONNOE POLE SLABOE, ESLI VE R RG, ILI G, ONO SILXNOE.

iZ POSLEDNEJ FORMULY WIDNO, ^TO OB_EKTY OBY^NYH ZWEZDNYH MASS

(M< 102 ) MOGUT IMETX SILXNYE GRAWITACIONNYE POLQ LI[X PRI KOLOS- SALXNYH SREDNIH PLOTNOSTQH. tOLXKO NEJTRONNYE ZWEZDY STOLX KOMPAKT- NY, ^TO OBLADA@T DEJSTWITELXNO SILXNYMI GRAWITACIONNYMI POLQMI: j'j 0:1 c2 NA POWERHNOSTI. nEJTRONNYE ZWEZDY QWLQ@TSQ, TAKIM OBRA- ZOM, SU]ESTWENNO RELQTIWISTSKIMI OB_EKTAMI, I KAK SLEDUET PONQTX IH PRIRODU MOVNO LI[X NA OSNOWE oto. k SOVALENI@, DELO OSLOVNQETSQ TEM, ^TO SWOJSTWA WE]ESTWA O^ENX WYSOKOJ PLOTNOSTI IZWESTNY PLOHO, W ^ASTNOSTI NET NADEVNYH DANNYH OB URAWNENII SOSTOQNIQ.

sOGLASNO PRIWEDENNOMU KRITERI@, DLQ BELYH KARLIKOW \FFEKTY oto DOLVNY BYTX MALY. nA SAMOM DELE \TO NE SOWSEM TAK. kOGDA MAS- SA BELOGO KARLIKA BLIZKA K PREDELXNO DOPUSTIMOJ DLQ NIH, ZWEZDA NA- HODITSQ BLIZ GRANICY USTOJ^IWOSTI, I PO\TOMU MALYE \FFEKTY MOGUT

WYZWATX NARU[ENIE RAWNOWESIQ. w \TOM POLOVENII U^ET DAVE NEBOLX[IH OTKLONENIJ POLQ TQGOTENIQ OT NX@TONOWA STANOWITSQ NEOBHODIMYM.

uTWERVDAQ, ^TO W PREDELAH WSEJ ZWEZDY POTENCIAL TOGO VE PORQD- KA, ^TO I NA EE POWERHNOSTI, MY BYLI NE WPOLNE TO^NY. dLQ KRASNYH GIGANTOW \TO NE TAK. u NIH POTENCIAL BLIZ CENTRA PO PORQDKU OTLI^A- ETSQ OT POTENCIALA NA POWERHNOSTI. pO\TOMU ZNA^ENIQ GM=R, KOTORYE DLQ KRASNYH GIGANTOW O^ENX MALY, NE HARAKTERIZU@T ZWEZDU W CELOM. pOTENCIAL BLIZ CENTRA KRASNOGO GIGANTA OBY^NO PORQDKA POTENCIALA NA POWERHNOSTI TIPI^NOGO BELOGO KARLIKA. hOTQ ON (PO ABSOL@TNOJ WE- LI^INE) GORAZDO BOLX[E GM=R, RELQTIWISTSKIE \FFEKTY DLQ KRASNYH GIGANTOW WSE VE PO^TI WSEGDA MOVNO NE U^ITYWATX. ~TO VE KASAETSQ ZWEZD gp I BLIZKIH K NIM PO POLOVENI@ NA DIAGRAMME gr, TO ZDESX POPRAWKI NA oto NE IGRA@T NIKAKOJ ROLI.

sLEDUET QSNO PONIMATX, ^TO RELQTIWISTSKIJ OB_EKT OTN@DX NE OBQZATELX- NO DOLVEN IMETX WYSOKU@ PLOTNOSTX. |TO TAK TOLXKO DLQ TEL ZWEZDNOJ MASSY. oB_EKT VE S M 108 SOZDAET SILXNOE GRAWITACIONNOE POLE PRI WESXMA SKROMNOJ SREDNEJ PLOTNOSTI 1 G/SM3. tAKIE OB_EKTY NAHODQTSQ W QDRAH AKTIWNYH GALAKTIK I W KWAZARAH.

rELQTIWISTSKOE URAWNENIE GIDROSTATI^ESKOGO RAWNOWESIQ SFERI^ES- KI-SIMMETRI^NOJ ZWEZDY IZWESTNO KAK URAWNENIE oPPENGEJMERA { wOL- KOWA. oNO IMEET WID

eGO WYWOD NE WHODIT W NA[U ZADA^U, ODNAKO NEKOTORYE KOMMENTARII NE- OBHODIMY. pREVDE WSEGO POD^ERKNEM, ^TO ZDESX RADIALXNAQ PEREMENNAQ r NE ESTX \WKLIDOWO RASSTOQNIE OT CENTRA. sOGLASNO OSNOWNOJ IDEE oto, NALI^IE MASSY IZMENQET GEOMETRI@ PROSTRANSTWA I TE^ENIE WREMENI. w SFERI^ESKI-SIMMETRI^NOM SLU^AE KRIWIZNA PROSTRANSTWA I ZAMEDLE- NIE HODA WREMENI DOLVNY, O^EWIDNO, ZAWISETX TOLXKO OT RASSTOQNIQ OT CENTRA SIMMETRII. rADIALXNAQ KOORDINATA r WWODITSQ TAKIM OBRAZOM, ^TO DLINA OKRUVNOSTI S CENTROM PRI r = 0 RAWNA 2 r. iNA^E GOWORQ, r PO OPREDELENI@ ESTX RADIUS KRIWIZNY POWERHNOSTI TREHMERNOJ SFERY PLO]ADI 4 r2. oDNAKO IZ-ZA KRIWIZNY PROSTRANSTWA OB_EM SOOTWETSTWU- @]EGO [ARA OTLI^EN OT (4 =3)r3 I SOSTAWLQET