Устойчивость механической системы.

Рассмотрим МТ в поле внешних сил. Сторонние силы отсутствуют.

E=T+U=const

Пусть МТ совершает одномерное движение вдоль оси х.

(13.2)

t=0 T=0 E=U (13.3)

тело будет совершать гармонические колебания. Такая система называется гармоническим осциллятором. Такое движение в ограниченной области называется ограниченным (финитум). Говорят, что частица находится в потенциальной Е. Размер области движения определяется величиной полной энергии. Точка с минимальным значением энергии если E=U(min) МТ в положении равновесия. (13.4)

Минимум – условие устойчивого равновесия. Математически это определяет знак второй производной.

(13.5)

Вопрос№13

Уравнение моментов.

ma=F(14.1)

(14.2)

L= [r x p] (4.13) образуют правую тройку векторов

Векторную величину, определяющую положение МТ и действующую на неё силу F, называют моментом силы, относительно полюса О M=[rxF](14.4) – правая тройка

(14.5)

dL/dt=M (14.6) – уравнение моментов

Изменение L можно найти интегрируя 14.6.

Импульс момента силы (14.7)

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной в случае равновесия системы. В соответствии с этим, момент импульса замкнутой системы относительно любой неподвижной точки не изменяется со временем.

Вопрос№14

Моменты силы и импульса. Уравнение 14.13 можно представить в виде проекции.

(15.1)

(15.2)

(15.3)

(15.5)

Момент не зависит, относительно какой точки М находится.

(15.6)

Моменты относительно точки – вектора. Относительно оси – скаляры.

Основной закон вращательного движения. Момент инерции твёрдого тела.

(15.7)

(15.8)

Момент импульса из 14.11 (15.9)

(15.10)

Проекция моментов на неподвижную ось вращения (15.12) – основной закон вращательного движения, относительно неподвижной оси. Угловое ускорение твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, пропорционально моменту внешних сил, относительно этой оси, и обратно пропорционально моменту инерции тела, относительно той же оси. Если момент внешних сил=0, то

(15.13)

(15.14)

Момент импульса из 14.11 (15.9)

(15.10)

Моментом инерции абсолютно твёрдого тела, относительно оси вращения z называется величина. ( )

( )

Вопрос № 15

-стержень

-однородный цилиндр

-обруч

-однородный шар

Теоре́ма Гю́йгенса-Ште́йнера, -момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела I^c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси и произведения массы тела m на квадрат расстояния R между осями:

Кинетическая энергия вращательного движения.

(15.25)

(15.26)

(15.27)

Вопрос№16

Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.

Примеры таких тел показаны на рис. 1.20: волчок с шарнирно закрепленным острием (а), конус, катающийся по плоскости без проскальзывания (б). В этом случае тело имеет три степени свободы - начала систем XYZ и x₀y₀z₀, введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:

Тензор инерции — в механике абсолютно твердого тела — величина, связывающая момент импульса тела и кинетическую энергию его вращения с его угловой скоростью:

где   - тензор инерции,   - угловая скорость,   - момент импульса

ОСИ ИНЕРЦИИ

ОСИ ИНЕРЦИИ

       

главные, три взаимно перпендикулярные оси, проведённые через к.-л. точку тела и обладающие тем св-вом, что если их принять за координатные оси, то центробежные моменты инерции тела относительно этих осей будут равны нулю. Если тв. тело, закреплённое в одной точке, приведено во вращение вокруг оси, к-рая в данной точке явл. главной О. и., то тело при отсутствии внеш. сил будет продолжать вращаться вокруг этой оси, как вокруг неподвижной. Понятие о главных О. и. играет важную роль в динамике тв. тела

вопрос№17

ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ СИЛЫ - силы, зависящие от скоростей и обладающие тем свойством, что сумма их работ (или мощностей) при любом перемещении системы, на к-рую действуют эти силы, равна нулю. Если

- Г. с., то для них

где   - радиусы-векторы точек приложения сил,   - скорости этих точек. Назв. "Г. с." появилось в связи с тем, что такие силы встречаются в теории гироскопа .Хотя Г. с., как зависящие от скоростей, не являются потенциальными, но на систему, на к-рую кроме потенциальных сил действуют ещё и Г. с., тоже распространяется закон сохранения механич. энергии

гироскопический эффект -Вращающееся тело ( колесо мотоцикла ) стремиться сохранять положение оси вращения в пространстве неизменным

НУТАЦИЯ-  слабое нерегулярное движение вращающегося твёрдого тела, совершающего прецессию. Напоминает «подрагивание» оси вращения и заключается в слабом изменении так называемого угла нутации между осями собственного и прецессионного вращения тела.

Прецессия – явление, при котором ось вращающегося объекта поворачивается, например, под действием внешних моментов. особый вид движения, который возникает, если момент внешних сил.

Вопрос№18

1   постулат Эйнштейна или принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению ко всем инерциальным системам отсчета. Все физические, химические, биологические явления протекают во всех инерциальных системах отсчета одинаково.

2  постулат или принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме постоянна и одинакова по отношении» к любым инерциальным системам отсчета. Она не зависит ни от скорости источника света, ни от скорости его приемника. Ни один материальный объект не может двигаться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. Более того, пи одна частица вещества, т.е. частица с массой покоя, отличной от нуля, не может достичь скорости света в вакууме, с такой скоростью могут двигаться лишь полевые частицы, т.е. частицы с массой покоя, равной нулю.

Пусть в системе отсчета K’ материальная точка движется вдоль оси х’ спостоянной скоростью  Система K’ движется относительно системы K в том же направлении со скоростью v , Определим, чему равна скорость материальной точки v_o, относительно системы K, т.е. чему равно  . Пусть при   м.т. находится в начале координат, причем  . Для системы K:

Подставляя  и t в формулу для v_o

Делим числитель и знаменатель на t

Это равенство выражает собой релятивистский закон сложения скоростей. При малых значениях скоростей  и   имеем

т.е. релятивистский закон сложения скоростей переходит в классический

вопрос №19

преобразования Лоренца - называются преобразования, которым подвергаются пространственно-временные координаты (x,y,z,t) каждого события при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО)к другой. Аналогично преобразованиям Лоренца при таком переходе подвергаются координаты любого 4-вектора.

Следствия из преобразований Лоренца :

1. Относительность расстояний.

Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в размерах в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцево сокращение. В направлениях перпендикулярных к направлению движения размеры тел остаются неизменными.

Инвариантной по отношению к преобразованиям Лоренца называется величина, называемая интервалом между двумя событиями, пространственное расстояние между которыми L12 и которые происходят в моменты времени t1 и t2.

Понятие интервала между событиями является обобщением понятий промежутка времени и расстояний между точками.

 

2. Относительность промежутков времени.

Промежуток времени между двумя последовательными событиями зависит от выбора системы отчета. Движущиеся часы относительно покоящегося наблюдателя идут медленнее, чем покоящиеся.

Вопрос №20

Релятивистский импульс - Выражение, обеспечивающее инвариантность закона сохранения импульса, может быть получено, если вместо времени t подставить собственное время τ.