1.2 Численное решение уравнений импульса и энергии

Характеристики процессов тепло- и массообмена можно определить экспериментально и теоретически. Рассмотрим вкратце каждый из этих подходов, а затем сравним их между собой [38,39].

Экспериментальное исследование

Часто наиболее надежную информацию о физическом процессе можно получить путем непосредственных измерений. С помощью экспериментального исследования на полномасштабной установке можно определить поведение объекта в натурных условиях. В большинстве случаев такие полномасштабные опыты чрезмерно дороги и часто невозможны. Альтернативой является проведение экспериментов на маломасштабных моделях [41,46,49]. Однако полученную информацию необходимо экстраполировать на натурный объект, а общие правила для этого отсутствуют. Кроме того, на маломасштабных моделях не всегда можно воспроизвести все свойства полномасштабного объекта. Это также снижает ценность полученных результатов. Наконец, во многих случаях измерения затруднены, и измерительное оборудование может давать погрешности.

Теоретическое исследование

При теоретическом исследовании определяются, скорее, результаты решения задачи согласно используемой математической модели, а не характеристики действительного физического процесса. Для интересующих нас физических процессов математическая модель состоит, главным образом, из системы дифференциальных уравнений [39,46,61]. Если бы для решения этих уравнений использовались только методы классической математики, то вряд ли удалось бы рассчитать многие имеющие практический интерес явления. На основании классических работ по теплообмену или гидромеханике можно прийти к выводу, что в аналитическом виде можно получить решения только небольшой части задач, имеющих практический интерес. Кроме того, эти решения часто содержат бесконечные ряды, специальные функции, трансцендентные уравнения для собственных значений и т.д., и их числовая оценка может представлять весьма трудную задачу.

Уровень развития численных методов и наличие мощных ЭВМ позволяют полагать, что почти для любой практической задачи можно составить математическую модель [45,51,60] и провести ее численное исследование.

Перечислим преимущества численного решения по сравнению с соответствующим экспериментальным исследованием.

Низкая стоимость. Наиболее важным преимуществом численного решения является его небольшая стоимость. В большинстве случаев стоимость затраченного машинного времени на много порядков ниже стоимости соответствующего экспериментального исследования. Значение этого фактора возрастает с увеличением масштабов и усложнением требующего изучения физического процесса.

Скорость. Численное решение можно провести очень быстро. Конструктор имеет возможность меньше, чем за день, просчитать сотни вариантов и выбрать оптимальную конструкцию, в то время как соответствующее экспериментальное исследование заняло бы очень много времени.

Полнота информации. Численное решение задачи дает подробную и полную информацию. С его помощью можно найти значения всех имеющихся переменных (таких, как скорость, давление, температура, концентрация) во всей области решения. В отличие от эксперимента для расчета доступна практически вся исследуемая область и отсутствуют возмущения процесса, вносимые датчиками при экспериментальном исследовании. Очевидно, что ни в одном экспериментальном исследовании невозможно измерить распределения всех переменных во всей исследуемой области. Поэтому, даже если проводится экспериментальное исследование, большое значение для дополнения экспериментальной информации имеют результаты численного решения.

Возможность математического моделирования реальных условий. Численное решение можно получить для реальных условий исследуемого процесса, что далеко не всегда возможно при экспериментальном исследовании.

Возможность моделирования идеальных условий. Если с помощью численного решения изучаются закономерности физического процесса, а не сложные инженерные задачи, можно сконцентрировать внимание на нескольких существенных параметрах этого процесса и исключить все несущественные явления. При этом можно моделировать многие идеализированные условия, например, двумерность, постоянство плотности, адиабатическую поверхность или бесконечно быструю реакцию. При экспериментальном исследовании даже с помощью довольно тщательного эксперимента не всегда можно достичь таких идеализированных условий.

Численное решение задач, связанных с теплообменом, течением жидкости и многими другими процессами, можно начинать, когда законы, управляющие этими процессами, выражены в математической форме, обычно в виде дифференциальных уравнений [40,43,62].

Большинство расчетных алгоритмов, используемых при решении уравнений энергии и импульса основано на концепции дискретизации [38,49,59], согласно которой решение задачи определяется на счетном множестве дискретных точек (узлов, ячеек, контрольных объемов или конечных элементов). Исходные дифференциальные уравнения при этом аппроксимируются на расчетном шаблоне и в каждом узле записывается система алгебраических уравнений относительно неизвестных дискретных параметров, определяющих течение. В зависимости от типа разбиения расчетной области и способов аппроксимации уравнений различают конечно-разностные, конечно-объемные и конечно-элементные методы [38,47,61]. Наибольшее распространение при решении сложных задач получили первые два метода.

Следует отметить, что в настоящее время предпринимаются успешные попытки распространить конечно-элементные методы, которые получили широкое распространение при решении задач упругости и теплопроводности, для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости [43,46].

Анализ становления вычислительной гидродинамики показывает, что методы разностного моделирования получили наибольшее развитие в расчетах сверх- и гиперзвуковых течений как идеального, так и вязкого газа применительно к внешним задачам аэрогидродинамики, к задачам лазерной технологии и др. Разработка высокоточных и эффективных алгоритмов, основанных на нестационарных явно-неявных и неявных разностных схемах, факторизованных методах решения задач; конструирование криволинейных, согласованных с границами расчетной области координатных систем и построение дву- и трехмерных расчетных сеток, в том числе с использованием идей адаптации линий применительно к особенностям газодинамической структуры течения; экономичное решение задач газодинамики на специализированных многопроцессорных ЭВМ с расщеплением вычислительных операций - далеко не полный перечень новшеств, введенных в методологии расчетов течений сжимаемой жидкости[52,54,59]. В то же время наибольшие успехи в моделировании турбулентности, в создании каталога относительно универсальных полуэмпирических моделей связаны решением задач тепло- и массопереноса, задач естественной конвекции и динамики несжимаемой жидкости. Широкое распространение в практике инженерных расчетов получили основанные на идее расщепления итерационные процедуры коррекции давления, так называемые SIMPLE-подобные алгоритмы [38,39,60]. В то же время целесообразно использовать при конструировании алгоритмов расчета течений несжимаемой жидкости некоторые удачные находки в методологии расчета сжимаемых течений, в том числе разработанные для потенциальных течений эффективные неявные процедуры, методы ускорения сходимости численного решения задач, такие, например, как многосеточный метод, метод аддитивной коррекции и др.[45,52,59].

При разностном решении задач динамики вязкой несжимаемой жидкости расчетную область покрывают сеткой, в узлах которой определяют значения сеточных функций [51,53]. Построение пространственной сетки в сложных, в частности, трехмерных областях представляет собой самостоятельную задачу, входящую составной частью в вычислительный комплекс. Аналогично для нестационарных задач временные процессы разбивают на временные слои и таким образом, от непрерывных во времени и по пространству распределений искомых параметров осуществляют переход к их дискретным значениям в узлах сетки [55,56,57]. Важной характеристикой сетки является расстояние между ее узлами, т.е. шаг сетки по временной и пространственной координатам. Сеточные шаги могут быть выбраны равномерными и неравномерными, при этом обычно предполагается, что искомые параметры распределяются между узлами сетки по линейному закону. При отображении в физической плоскости таких важных элементов картины течения, как развивающееся вдоль границ отрывных зон тонкие сдвиговые слои и пристеночные пограничные слои, целесообразно узлы сетки располагать со сгущением в подобластях с высокими градиентами параметров, в частности в окрестности стенок. В то же время в областях гладкого поведения зависимых переменных шаги сетки могут быть выбраны значительно большими, отличающимися по величине на два порядка и более от пристеночных шагов. Таким образом желательно согласовывать расчетную сетку с получаемым решением. Это можно сделать либо при априорном задании сеточной структуры, исходя из имеющейся расчетной или экспериментальной информации (наиболее распространенный способ в настоящее время), либо производя оптимизацию сеточных узлов в итерационном процессе (перераспределение сеточных узлов, переинтерполяция, уточняющие расчеты), либо используя так называемые адаптирующиеся к решению расчетные сетки, для которых расстановка узлов определяется в ходе решения задачи в соответствии с заданным законом. Следует отметить, что дискретизация исходных уравнений существенно упрощается на сетке с равномерным шагом. Поэтому удобно осуществлять ее в трансформированной плоскости (шаг сетки при этом обычно задается равным единице), как, например, в случае использования криволинейных систем [44,54,62]. Метрические коэффициенты, определяющие связь сеток в физической и преобразованной плоскостях, вводятся в преобразованные формы исходных дифференциальных уравнений. Таким образом, задача построения сетки сводится к нахождению координат узлов в физической плоскости и к расчету в этих точках метрических коэффициентов или функций преобразования.

Помимо шага сетки важной характеристикой является угол пересечения сеточных линий. Различают ортогональные и косоугольные сетки. Как правило, при использовании стандартных координатных систем стремятся конструировать ортогональные сеточные структуры [48,52,57]. В этом случае при дискретизации уравнений получают более простые и экономичные алгоритмы. К сожалению, это не всегда возможно, и тогда строят криволинейные сетки, в том числе согласованные с контуром обтекаемого тела.

Методы построения сеток условно разделяют на две группы. В первую группу входят методы, основанные на решении дифференциальных уравнений в частных производных, во вторую группу — методы построения сеток с использованием алгебраических интерполяционных соотношений. Обзор основных методов построения сеток дан в работе [39]. В ней показано, что очевидными преимуществами указанных методов являются непрерывность построенных функций преобразования координат и их дифференцируемость до порядка решаемых уравнений. Структура сеток, построенных дифференциальными методами, зависит от вида решаемых дифференциальных уравнений. Ортогональность сетки и плавность изменения шага сетки достигаются почти автоматически. В интерполяционных алгебраических методах координаты узлов определяют посредством интерполяции. Требуемое распределение узлов достигается с помощью различных функций растяжения-сжатия, которые должен задавать пользователь. Гладкость отображающей функции преобразования координат внутри расчетной области при кусочно-непрерывном изменении ее на границе не всегда легко обеспечить в рамках этого подхода. В то же время алгебраические методы требуют при реализации незначительных вычислительных затрат и более удобны при построении трехмерных сеток в областях сложной формы.