В итоге получено равенство (5.2.4), которое и требовалось доказать.
|
Теорема 5.2.3. Если операторы |
ˆ |
ˆ |
+ |
и |
ˆ |
ˆ |
+ |
— |
||
|
F = F |
|
G |
= G |
|
||||||
|
|
|
ˆ ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
самосопряжённые, то оператор i[F,G] — также самосопряжённый. |
|||||||||||
|
Доказательство. |
Вначале, используя теорему 5.2.1, покажем, |
|||||||||
что |
ˆ ˆ |
— не |
самосопряжённый, |
а |
«антисопряжённый» |
||||||
[F,G] |
|||||||||||
оператор:
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
+ ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ ˆ ˆ |
ˆ ˆ |
[F,G] |
|
|
=GF − FG =–( FG −GF )=–[F,G]. (5.2.5) |
||||
|
=(FG) |
|
–(GF) |
||||
Затем применим, равенство (4.2.8) из теоремы 4.2.2 и соотношение
(5.2.5):
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
+ |
ˆ ˆ |
(5.2.6) |
(i[F,G]) |
|
= –i[F,G] |
|
= i[F,G]. |
Но равенство (5.2.6) и показывает, что заданный в условии теоремы оператор — действительно самосопряжённый.
5.2.3. Положительно определённые операторы
Теорема 5.2.4. Операторы |
ˆ ˆ + |
и |
ˆ |
+ ˆ |
ˆ |
— любой |
FF |
F |
F , где |
F |
оператор, положительно определённые.
293
ˆ
Определение. Оператор P называется определённым, если для любой функции ψ условию
<ψ ˆ ψ >≥
| P | 0
.
положительно он удовлетворяет
(5.2.7)
Очевидно, любой положительно определённый оператор является самосопряжённым — см. теорему 4.2.4 и соотношение
(4.2.13).
Докажем, что операторы |
ˆ ˆ + |
и |
ˆ |
+ ˆ |
— самосопряжённые. |
FF |
F |
F |
|||
Действительно: |
|
|
|
|
|
ˆ ˆ + |
) |
+ |
ˆ + |
) |
+ ˆ + |
ˆ ˆ |
+ |
(5.2.8) |
(FF |
|
= (F |
F |
= FF |
|
и аналогично
ˆ + ˆ |
+ |
ˆ + |
ˆ + |
) |
+ |
ˆ + ˆ |
(5.2.9) |
(F F) |
|
= F |
(F |
|
= F F . |
ˆ ˆ +
Теперь докажем, что оператор FF — положительно определённый, т.е. удовлетворяет условию (5.2.7). Действительно: обозначим
ˆ +ψ =ψ
F 1.
294
Тогда, используя определение сопряжённого оператора (4.2.5) и свойство скалярного произведения (4.1.6), получим
ˆ ˆ + |
ˆ |
ˆ |
+ |
|ψ > *= |
<ψ | FF |
|ψ >=<ψ | F |ψ1 |
>=<ψ1 | F |
|
=<ψ1 |ψ1 > *=<ψ1 |ψ1 >.
Но последнее слагаемое в полученном равенстве есть норма функции ψ1 (4.1.7):
<ψ1 |ψ1 >≡ ∫ψ1 *ψ1dq = ∫ψ1 2dq ≥ 0.
Следовательно,
ˆ ˆ |
+ |
|ψ >≥ 0 |
, |
(5.2.10) |
<ψ | FF |
|
так что рассматриваемый оператор удовлетворяет условию (5.2.7) и, стало быть, действительно является положительно определённым.
Аналогично доказывается, что
ˆ + ˆ |
(5.2.11) |
<ψ | F F |ψ >≥ 0 . |
295