Предисловие

каждого решения нумеруются подряд. Приводятся также формулы из учебного пособия: они снабжены трёхзначными номерами.

Задача 1 (2.3.1)

Микрочастица в прямоугольной потенциальной «яме» со «стенками» бесконечной «высоты»

Вычислите волновые функции стационарных состояний un (x)

и соответствующие энергетические уровни En микрочастицы массы m, находящейся в поле сил с потенциальной энергией

Решение

1. В области пространства, где потенциальная энергия бесконечна, частица попасть не может, поскольку оттуда её как бы выталкивает сила бесконечной величины. Следовательно, вероятность пребывания частицы в таких областях пространства тождественно равна нулю. Поэтому при −∞ < x < 0 и L < x < ∞

2

2. В области 0 ≤ x ≤ L потенциальная энергия частицы равна константе Φ0 (это значит, что здесь сила на частицу не действует,

то есть в рассматриваемой области пространства частица свободна всюду, кроме границ «ямы»), и стационарное уравнение Шрёдингера имеет вид

В зависимости от того, в каком соотношении находятся E и Φ0 ,

возможны три варианта решения этого уравнения:

А. E >Φ0 . Этот вариант вполне согласуется с классической картиной движения частицы в заданном поле силы, поскольку ему соответствует положительная кинетическая энергия частицы K = E −Φ0 . Обозначив

представим уравнение (2) в виде

Выберем для определённости положительное значение действительной величины k:

3

была бы быть при этом отрицательной, а скорость — мнимой. Однако a priori не очевидно, что подобных состояний квантовой частицы также не существует. Поэтому проанализируем решение уравнения Шредингера и в этом случае. Обозначим

(κ — греческая «каппа»; κ ≠ k!) и представим уравнение (2) в виде

Выберем для определённости положительное значение действительной величины κ:

Общее решение дифференциального уравнения (9):

где D1 и D2 — произвольные постоянные.

3. Фигурирующие в (5), (7) и (10) произвольные постоянные следует определить, используя условия при x = 0 и x = L.

5

Поскольку волновая функция в любой точке пространства должна быть непрерывной функцией своего аргумента — пространственной координаты, то с учётом (1) на обеих границах интервала 0 ≤ x ≤ L функция u(x) — решение уравнений (2), (4), (6)

и (9) — должна обращаться в нуль:

Условия (11) часто называют граничными, но это не вполне правильно. Граничные, а точнее — краевые — условия решения u(x) стационарного уравнения Шрёдингера для микрочастицы,

находящейся в связанном состоянии с источником силового поля, следующие:

lim u(x) =limu(x) = 0 x → −∞ x → ∞

— см. соотношение (2.3.31) в п/п. 2.3.4 учебного пособия. Эти условия означают, что вероятность обнаружить микрочастицу на большом удалении от источника поля, с которым она связана, равна нулю. Рассматриваемые условия в решении данной задачи уже удовлетворены — см. (1). Равенства же (11) представляют собой

условия непрерывности функции u(x) при x = 0 и x = L, или, как часто говорят, условия «сшивки» «кусков» (1) этой функции в

6

интервалах координаты −∞ < x < 0 и L < x < ∞ с её «средней» частью, вид которой определяется уравнением (3), в интервале 0 ≤ x ≤ L .

С учётом сказанного рассмотрим случаи А, Б и В отдельно.

А. E >Φ0 . Подставляя (11) в (5), получим для определения значений постоянных C1 и C2 два линейных алгебраических уравнения:

Поскольку уравнения (12) — однородные, в общем случае у этой системы уравнений имеется только тривиальное решение: C1 = 0,

C2 = 0. Однако при этом искомая волновая функция (1), (4)

оказывается тождественно равной нулю повсюду: u(x) = 0 .

Описываемое подобной волновой функцией состояние микросистемы реализуется с вероятностью, равной нулю, или, проще говоря, не существует.

Нетривиальные решения у системы линейных однородных алгебраических уравнений (12) имеются только при условии, что её определитель равен нулю, или, другими словами, что решаемые уравнения линейно зависимы:

7

Условие (13) выполняется, если произведение kL является числом, целым кратным π:

(Поскольку по условию k > 0 , значение n = 0 исключается). Подставляя (14) в (5), видим, что оба эти уравнения

оказываются не просто линейно зависимыми, а идентичными:

C1 0 +C2 1 = 0 .

Отсюда следует, что C2 = 0, в то время как C1 может принимать

любое значение, отличное от нуля, и из сформулированных условий его определить нельзя.

Таким образом, из (1), (5) и (14) получаем нумеруемое целым числом n счётное множество волновых функций, каждая из которых описывает одно из возможных состояний микрочастицы в заданном поле сил:

Целое число n, нумерующее стационарные связанные состояния,

обычно называют квантовым числом.

8

числом n, называют дискретным энергетическим спектром

микрочастицы. Любое другое значение энергии, отличное от (18), даёт тривиальное решение системы уравнений (12) и, тем самым, волновую функцию u(x) ≡ 0 , тождественно равную нулю. Тем самым энергии частицы, отличные от (18), невозможны.

Наинизший или основной энергетический уровень E1, как видно из (18), на величину

превышает значение начала отсчёта энергии Φ0 (разумеется,

произвольное).

Переход микрочастицы из состояния, описываемого волновой функцией un (x) , в «соседнее» состояние un+1(x) сопровождается,

как видно из (18), скачкообразным изменением её энергии. Порция, или квант, энергии, которую необходимо подвести к частице для осуществления такого перехода, равна

Из (20) видно, что «расстояние» между соседними энергетическими уровнями частицы в рассматриваемом поле сил возрастает по линейному закону в зависимости от номера уровня n.

11

Сама же энергия, требуемая для «возбуждения» уровня энергии En ,

возрастает пропорционально квадрату квантового числа n.

5. Постоянную С, с точностью до которой определена волновая функция (15), подсчитаем, используя условие нормировки:

−∞

Подставляя (15) в (21), получим

Поскольку, независимо от значения n, записанный интеграл равен L/2 (проверьте!), нормировочный множитель волновой функции (8) оказывается равным

6. Поведение микрочастицы, описываемое квантовой механикой и вытекающее из решения уравнения Шрёдингера, принципиально отличается от картины, предсказываемой классической механикой.

12

Ясно, что если бы поведение частицы подчинялось классической механике, то наинизшее возможное значение её энергии равнялось бы Φ0 . Такой энергией обладала бы частица,

покоящаяся относительно заданного поля сил, у которой кинетическая энергия равна нулю. Однако, как видно из (18), «квантовая» частица, даже находящаяся в основном состоянии, с «классической» точки зрения не может оставаться в покое, а осуществляет нулевые колебания с кинетической энергией E0

(19).

Нулевые колебания — сугубо квантовый эффект, необъяснимый с позиций классической физики. Иногда его пытаются «объяснить», ссылаясь на принцип неопределённостей Гайзенберга. Объяснение сводится к следующему.

Если частица покоится, то она обладает определённым значением импульса px = 0, и неопределённость импульса частицы

импульса определённо, то неопределённость координаты x должна быть бесконечной.

В действительности, однако, неопределённость координаты, т.е. положения частицы в «яме», конечна и имеет порядок ширины (т.е. пространственной протяжённости) «ямы»: x ~ L. Отсюда

13

следует, что неопределённость значения импульса частицы не может быть менее px ≥ h/ L .

Очевидно, что поскольку частица, находящаяся в стационарном связанном состоянии, остаётся «привязанной» к неподвижному центру силы, т.е. в среднем не перемещается в пространстве, то среднее значение её импульса равно нулю: px = 0. Значит,

среднеквадратичное отклонение импульса от среднего значения равно среднему значению квадрата импульса:

( px )ск2 ≡ (px − px )2 = px2 . Но тогда средняя кинетическая энергия частицы равна px2 / 2m = ( px )2ск / 2m . Поскольку неопределённость любой динамической переменной можно рассматривать как её среднеквадратичное отклонение, то, используя принцип неопределённости, получим следующую оценку энергии нулевых

образом, минимально возможная кинетическая энергия частицы конечна и не может быть равной нулю.

Несмотря на то, что приведенное рассуждение является весьма хитроумным, его никак нельзя считать «объяснением» обсуждаемого эффекта. Здесь непонятное — наличие «нулевых колебаний» — объясняется с помощью столь же непонятного — принципа неопределённости. Заметим, что соотношение неопределённостей между координатой и импульсом является на самом деле математическим следствием того же самого уравнения Шрёдингера, из которого следует и эффект нулевых колебаний.

14

О наличии нулевых колебаний у любых атомно – молекулярных систем свидетельствуют результаты спектроскопических экспериментов, позволяющие установить взаимное расположение энергетических уровней и потенциальной энергии сил, связывающих микрочастицы в атомы и молекулы. Макроскопический квантовый эффект, непосредственно демонстрирующий наличие нулевых колебаний — невозможность кристаллизации жидкого гелия при его охлаждении вплоть до абсолютного нуля. Амплитуда нулевых колебаний атомов гелия оказывается больше, чем расстояния между соседними узлами кристаллической решётки, которая «должна была бы» образоваться в результате кристаллизации. Поэтому гелий как бы плавится, ещё не успев кристаллизоваться.

Также существенно квантовым эффектом является и дискретный характер энергетического спектра (квантование энергии), поскольку в соответствии с классической механикой энергия материальной точки в рассматриваемом поле сил может принимать любые значения, превышающие Φ0 . Объяснить этот эффект с позиций классической механики, разумеется, невозможно. Однако именно он является ответственным за такие твёрдо установленные на опыте явления, как линейчатый спектр излучения и поглощения электромагнитного излучения газами, температурные зависимости теплоёмкостей двухатомных газов и кристаллических твёрдых тел при низких температурах и т.д.

15

Совершенно необъяснимым с классических позиций является вытекающая из (15) зависимость от координаты плотности вероятности положения частицы в «яме»

(за пределами ямы, разумеется, Pn (x) = 0). Исходя из соображений классической механики, поскольку внутри «ямы» на частицу силы не действуют, то любые её положения в интервале координат 0 < x < L должны быть равновероятными, так что

Поведение же функции (23) — максимум в середине «ямы» при n = 1, минимум в центре и два максимума, расположенных симметрично от него справа и слева, при n = 2 и т.д. — с классических позиций должны были бы свидетельствовать о наличии силы, которая «притягивает» частицу туда, где Pn (x)

максимальна, и «выталкивает» оттуда, где у Pn (x) находятся минимумы. Однако в действительности никакой силы нет.

В том, что нам не удаётся объяснить поведение микрочастицы, подчиняющееся законам квантовой механики, и истолковать «физический смысл» квантовых эффектов (хотя они и наблюдаются в экспериментах!), нет ничего удивительного. Наш опыт

16

«общения» с природой, основанный на «сигналах» наших органов чувств, является чисто макроскопическим. Мы не можем ни видеть, ни слышать, ни осязать микромир. Но понятия о вещах, которыми оперирует мышление человека, могут сформироваться только путём обобщения образов и представлений, возникающих в нашем сознании как результат чувственного восприятия окружающего мира. Поэтому в нашей голове содержится вполне адекватная картина макроскопических объектов и явлений, однако полностью отсутствуют наглядные образы микрообъектов, которые бы придавали «физический смысл» микроявлениям. Нет, естественно, и подходящих слов в человеческом языке для описания того, что мы «видим» в микромире посредством измерительных приборов. Это, разумеется, не означает, что микромир непознаваем: напротив, человечество за последние 80 лет научилось и количественно описывать наблюдающиеся микроявления, и успешно предсказывать те из них, которые ещё не наблюдались. Но при этом нам приходится использовать абстрактные теоретические модели, которые не вызывают в нас решительно никаких чувственных ассоциаций. Очень метко прокомментировал описываемую ситуацию академик Л.Д. Ландау: «Величайшая заслуга человеческого разума, создавшего науку ХХ века, заключается в том, что мы теперь умеем представить себе то, чего не в состоянии вообразить».

7. Очевидно, однако, что поведение частицы в «потенциальной яме» вовсе не всегда носит квантовый характер. Хоккейная шайба

17

тоже движется в «потенциальной яме», «стенки» которой образованы бортами площадки, но её энергия не проявляет ни малейших признаков квантования, а на частоту её появления в различных местах площадки, в том числе в воротах противника, влияют не квантовые вероятностные законы, а квалификация игроков.

Выясним, при каких условиях поведение частицы в рассматриваемой задаче потеряет квантовые особенности и станет «классическим».

Наиболее яркий квантовый эффект — дискретность энергетического спектра частицы — заметен постольку, поскольку величина кванта энергии E0 (20) заметна по сравнению с энергией «возбуждения» n+1 – го энергетического уровня — см. (18):

(Разумеется, само значение энергии En (18) не может использоваться как критерий для сравнения, поскольку оно определено лишь с точностью до произвольной постоянной). Отношение этих величин

18

уменьшается с ростом номера уровня (квантового числа) и при n >> 1 стремится к нулю:

Из (26) следует, что чем сильнее «возбуждена» микросистема, тем меньшее влияние на её поведение оказывает квантование энергии

— и, стало быть, тем «более классическим» это поведение становится.

Приведенные соотношения позволяют численно оценить «степень квантовости» макроскопического объекта. Для оценки порядков величин будем полагать, что масса объекта m = 1 кг, «ширина» потенциальной ямы L = 1 м, а энергия (25) равна 1 Дж.

Поскольку постоянная Планка примерно равна h ≈10−34 Дж·с, то из (25) получим следующую оценку порядка величины квантового числа, соответствующего заданным условиям: n ≈1034 . Из (26) видно, что при этом эффект дискретности энергетического спектра будет на уровне 10−34 =10−32% . Такую ничтожную величину совершенно невозможно заметить, поскольку погрешность измерения энергетических эффектов с применением наиболее совершенных технических средств никогда не удастся сделать менее 10−10% (это уровень флуктуаций, вызванных тепловым движением молекул, из которых состоят средства измерения).

Покажем, что столь же несущественными в рассматриваемых условиях оказываются и волновые свойства микрочастицы в «яме».

19

Волновая функция un (x) (15), описывающая n–е стационарное состояние микрочастицы, является пространственно периодической функцией. Длина волны λn такой функции (которую можно интерпретировать в рассматриваемой ситуации как длину волны де Бройля) определяется из соотношения

un (x +λnl) = un (x) ; l = 0, ±1, ±2,...

Легко убедиться, что

Но из (27) видно, что длина волны λn находится в таком же соотношении с характерным геометрическим масштабом рассматриваемой микросистемы, что и квант энергии — к самой энергии (26):

Для приведенного примера макроскопического объекта это отношение оказывается порядка 10−34 . Но для изготовления дифракционной решётки, которой следовало бы было бы оснастить спектрограф, чтобы измерить длину волны 10−34 м, в природе не существует материалов: даже атомные ядра обладают по

20

сравнению с указанной величиной гигантскими размерами 10−14 м. Таким образом, волновые свойства подобного объекта совершенно невозможно обнаружить!

Итак, мы видим, что если микрочастица находится в сильно возбуждённом состоянии, n >> 1, то её длина волны де Бройля оказывается намного меньше характерного геометрического размера системы, λ << L, и поведение частицы оказывается классическим. В то же время если n ~ 1, а λ ~ L, то на её поведение самое существенное влияние оказывают квантовые эффекты.

Отметим, что величина (27) с точностью до множителя порядка 1 совпадает с длиной волны де Бройля микрочастицы λ = 2πh/ p ,

где p — импульс частицы. Конечно, у рассматриваемой в данной задаче микрочастицы нет определённого значения импульса, т.к.

неопределённость её координаты x конечна и имеет порядок «ширины» L потенциальной «ямы». Однако оценить порядок величины импульса можно, оценив из соотношения (18) кинетическую энергию микрочастицы

Kn En −Φ0 = π2h2 n2 p2 . 2mL2 2m

Отсюда получим оценку порядка величины импульса микрочастицы в состоянии un (x)

21

Покажем, наконец, что в классическом пределе квантовое распределение вероятности пребывания частицы в различных местах «ямы» (23) переходит в классическое распределение (24). В самом деле: если λn << L, то функция Pn (x) (23) при изменении аргумента x от 0 до L совершает огромное количество осцилляций в диапазоне значений 0 ≤ Pn (x) ≤ 2 / L. При этом точное значение

Pn (x) установить совершенно невозможно, т.к. при малейшем изменении x оно изменяется сильно и непредсказуемо. Фактически значение плотности вероятности Pn (x) ведёт себя в рассматриваемых условиях как случайная величина. Тогда единственной разумной оценкой этой величины является её среднее значение:

Pn (x) = 12 0 + L2 = L1 .

А это и есть равномерное распределение случайной переменной x, соответствующее классическим представлениям (24).

Учащимся предлагается самостоятельно построить графики нескольких первых волновых функций и соответствующих плотностей вероятности, а также проанализировать поведение кванта энергии при увеличении (уменьшении) значения квантового числа n.

23