Квантовая механика / Задачи к расчётному заданию

ˆ

ˆ

ˆ ˆ

ˆ

1 F

=F 1

=F .

2. Докажите,

что

оператор

ˆ ˆ

−1

,

обратный оператору

ˆ

ˆ

— произведению

(FG)

F

G

ˆ

ˆ

ˆ −1

ˆ

−1

в обратном

операторов F и G , — равен произведению обратных операторов F

и G

порядке:

ˆ ˆ

−1

ˆ −1

ˆ −1

.

(FG)

=G

F

3. Докажите,

что

оператор

ˆ ˆ

+

,

сопряжённый произведению

ˆ ˆ

(FG)

операторов FG ,

ˆ ˆ

+

ˆ + ˆ

+

.

(FG)

=G F

ˆ

+

ˆ

+

, где c — комплексное число, а

ˆ

— оператор.

4. Докажите, что (cF )

= c * F

F

5. Докажите,

что

если

самосопряжённые

операторы

коммутируют,

ˆ ˆ ˆ ˆ

то

FG =GF ,

оператор, сопряжённый произведению этих операторов, является самосопряжённым:

ˆ

ˆ

+

ˆ

ˆ

(FG)

=F

G .

6. Докажите, что если оператор

ˆ

— самосопряжённый, то любая его степень

ˆ n

F

F

также является самосопряжённым оператором.

7. Докажите,

что

если оператор

ˆ

—

самосопряжённый,

то

любая

его

F

ˆ

действительная функция f( F ) — самосопряжённый оператор.

8. Докажите,

что

если

операторы

ˆ

ˆ

+

и

ˆ

ˆ

+

— самосопряжённые,

то

F

= F

G

=G

ˆ ˆ

ˆ ˆ

оператор FG +GF — также самосопряжённый:

ˆ ˆ

ˆ

ˆ

+

ˆ ˆ

ˆ ˆ

(FG +GF )

=FG

+GF .

9. Докажите, что единичный оператор коммутирует с любым оператором, а их

произведение равно самому оператору:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ

1 F =F 1

=F .

10. Докажите,

что оператор

ˆ

ˆ

−1

,

ˆ

ˆ

(FG)

обратный оператору F

G — произведению

ˆ

ˆ

ˆ −1

и

ˆ −1

в обратном

операторов F

и G , — равен произведению обратных операторов F

G