2.2.Вычисление волновой функции

2.2.1.Волновое уравнение

Волновое уравнение, предложенное Шрёдингером для вычисления волновой функции микрочастицыψ(t,x,y,z) ≡ ψ(t,r), представляет собой линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка по времени и второго — по координатам, т.е. параболического типа:

В (2.2.1) i — мнимая единица; h — «новая» постоянная Планка

(1.4.4);

— стандартное обозначение оператора Лапласа; m — масса микрочастицы; Φ(t, r) — её потенциальная энергия в поле внешней силы (см. п/п. 1.2.3).

Возникает естественный вопрос: откуда взялось волновое уравнение (2.2.1)? Мог ли, например, Шрёдингер его вывести из каких–то более фундаментальных физических соотношений?

92

Разумеется, не мог! В тот момент, когда Шрёдингер сочинял обсуждаемое уравнение, в качестве наиболее фундаментальных принципов физике были известны лишь соотношения классических механики и электродинамики. Но ведь, как мы знаем, они не способны описывать микроявления — а уравнение (2.2.1) именно для этого и предназначено.

Несмотря на это очевидное обстоятельство, во многих учебниках квантовой механики воспроизводятся рассуждения, которые как бы «обосновывают» форму уравнения Шрёдингера (2.2.1). С этой целью в соответствие левой части уравнения Шрёдингера ставится энергия движущейся материальной точки, а двум слагаемым правой части — кинетическая и потенциальная энергия этого объекта. Таким образом, вид квантового уравнения пытаются интерпретировать, основываясь на соотношении (1.2.5), заимствованном из классической механики (см. п. 1.2). У неискушённого читателя может сложиться впечатление, что ему предлагают вывод уравнения Шрёдингера из классической механики. На самом деле это не вывод, а лишь наводящие соображения, которыми Шрёдингер, возможно, пользовался, придумывая вид совершенно нового уравнения.

Новые научные результаты получают двумя разными способами. Один способ — это логические рассуждения, в основе которых лежат известные научные положения. Второй способ, благодаря которому открывают новые научные положения, т.е. совершают научные открытия, известен под названием «озарение» или «инсайт».

93

Озарение — это мгновенный творческий (или, как сейчас любят говорить, «креативный») акт, которым всегда завершается процесс длительных мучительных раздумий учёного в поисках решения ответа на вопрос, который человечеству неизвестен. Все знают легенду о том, как И. Ньютон открыл закон всемирного тяготения (см. п/пп. 1.3.2 – 1.3.4): это случилось в тот момент, когда ему, сидевшему в саду и погруженному в размышления, на голову упало яблоко. Известно также, что Д.И. Менделеев увидел свою периодическую систему элементов во сне, а Архимед открыл свой закон и воскликнул «Эврика!», когда из заполненной да краёв ванны, куда он погрузился, на пол вылилась вода. Всё это были настоящие открытия, а вовсе не выводы, к которым упомянутые учёные пришли в результате логических рассуждений. (Заметим, кстати, что великие произведения искусства также являются плодами творческих озарений: не случайно многие поэты, музыканты и художники говорят, что их рукой водил Бог!)

Конечно, Шрёдингер записал своё уравнение в момент озарения, после множества попыток «уложить» все известные факты «из жизни» микрочастиц в одну математическую модель. Уравнение Шрёдингера (2.2.1), без всяких сомнений — результат научного открытия, и притом крупнейшего в науке ХХ века, а вовсе не плод логического вывода из известных постулатов.

Уравнение (2.2.1) не учитывает релятивистских эффектов, т.е. пригодно только для описания состояний микрочастиц, скорость которых мала по сравнению со скоростью света. Поэтому использование в рассматриваемом уравнении потенциальной

94

энергии частицы, находящейся в поле внешней силы (1.2.3), не является ограничением: непотенциальная сила Лоренца (1.2.4), возникающая при движении заряженной микрочастицы в магнитном поле, является релятивистским эффектом, учёт которого не входит в «область компетенции» нерелятивистского уравнения Шрёдингера (2.2.1).

Трудно сказать, почему уравнение (2.2.1) называют волновым: на самом деле распространение волн (электромагнитных, звуковых и т.д.) описывают дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка по времени и координатам, т.е. гиперболического типа. В простейшем случае такое уравнение относительно какой–нибудь полевой переменной ϕ(t,r) имеет вид

где с — скорость распространения волны. Уравнение же (2.2.1) скорее является «родственником» параболических уравнений диффузии или теплопроводности — с той разницей, что последние действительны, а в уравнение (2.2.1) входит мнимая единица и, следовательно, его решения обязательно комплексны.

Обсуждение вопроса об «условиях однозначности» решения уравнения Шрёдингера (2.2.1), т.е. о начальных и граничных условиях, которые следует наложить на функцию ψ(t,r) — частное решение этого уравнения — мы отложим до решения конкретных задач.

95