функцию, описывающую такое состояние, нельзя нормировать на единицу. Поэтому квадрат модуля волновой функции (2.1.4), описывающей несвязанное состояние, не является нормированной плотностью вероятности.
То же самое относится и к микросистемам с числом степеней свободы, отличным от трёх.
2.3.4.Стационарные связанные состояния
Вкачестве простейшего примера рассмотрим стационарные связанные состояния микрочастицы с одной степенью свободы, соответствующей декартовой координате x — см. п/п. 2.2.4. В этом случае «пространственную» часть волновой функции u(x) определяет стационарное уравнение Шрёдингера
ˆ |
ˆ |
h2 ∂2 |
ˆ |
|
|
||
H u = Eu, |
H =− |
2m |
|
∂x2 |
+Φ(x)1 |
, |
(2.3.26) |
или
− |
h2 |
d 2u |
+ Φ(x)u = Eu. |
(2.3.27) |
|
2m dx2 |
|||||
|
|
|
|||
Чтобы частица могла находиться в связанном состоянии с источником силового поля, возвращающая сила
125
F(x) = − |
dΦ |
(2.3.28) |
|
dx |
|||
|
|
должна менять знак в точке равновесия (equilibrium) частицы x = xe , а потенциальная энергия частицы Φ(x) — обладать в этой точке минимумом:
dΦ |
|
= 0; |
d 2Φ |
= ke > 0; |
Φ(xe ) = Φe . (2.3.29) |
|
|||||
dx |
|
dx2 |
|||
|
x=x |
x=xe |
|
||
|
|
||||
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
Потенциальную энергию описанного вида часто называют «потенциальной ямой».
Простейшим примером «потенциальной ямы» может служить потенциал линейной (упругой) возвращающей силы, пропорциональной смещению частицы из положения равновесия:
F(x) = −k |
e |
(x − x ) ; |
Φ(x) = Φ |
e |
+ |
1 k |
e |
(x − x )2 |
. (2.3.30) |
|
e |
|
|
2 |
e |
|
Величина ke называется упругой постоянной. Значение константы
Φe , разумеется, можно выбрать произвольно.
Вэтом и других аналогичных случаях, когда в поле силы Φ(x) образуются связанные состояния микрочастицы, пространственная часть её волновой функции u(x) при x → ±∞ должна вести себя аналогично (2.3.24):
126
limu(x) = 0. |
(2.3.31) |
|||
|
x |
|
→ ∞ |
|
|
|
|
||
Но два предельных значения функции u(x) (2.3.31)
u(–∞) = 0; u(+∞) = 0 |
(2.3.32) |
можно рассматривать как краевые условия решения дифференциального уравнения (2.3.27) [если решать его не как задачу Коши (с начальными условиями в одной точке), а как задачу Дирихле (с условиями в двух граничных точках)]. Важно, что «нулевые» краевые условия (2.3.32) допускают тривиальное
решение однородного уравнения (2.3.27) u(x) ≡ 0.
Решение линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с «нулевыми» краевыми условиями вида (2.3.26) известно в математической физике под названием задачи Штурма – Лиувилля.
Характерной особенностью этой задачи является наличие в уравнении параметра, значение которого можно задать произвольно: в данном случае (2.3.26) таким параметром служит энергия микрочастицы E. При этом нетривиальное решение задачи существует только при некоторых отдельных значениях параметра,
которые называются собственными значениями
дифференциального оператора ˆ (2.3.26). Собственные значения
H
127
образуют счётное множество или дискретный спектр, т.е. могут быть перенумерованы целым числом:
E = En ; 1 ≤ n ≤ nmax . |
(2.3.33) |
ˆ
Это множество в зависимости от вида оператора H может содержать конечное, бесконечное число элементов или быть пустым, т.е. не содержать ни одного элемента.
Каждому собственному значению En , таким образом, «принадлежит» собственная функция un (x), которая является одним из нетривиальных решений уравнения (2.3.26). Собственные функции удовлетворяют «нулевым» краевым условиям (2.3.31), (2.3.32) и также образуют счётное множество.
Любую собственную функцию вследствие (2.3.31) [см. также обсуждение соотношения (2.3.25)] можно нормировать на единицу, подобрав соответствующий нормировочный множитель А — см. обсуждение в п/п. 2.3.2, — так что будет выполняться нормировочное соотношение
∞ |
|
∫un (x) 2 dx =1. |
(2.3.34) |
−∞
Поэтому функция
P (x) = |
|
u |
n |
(x) |
|
2 |
(2.3.35) |
|
|
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
128
может рассматриваться как «полноценная», т.е. надлежащим образом нормированная, плотность вероятности того, что микрочастица находится в точке с координатой x.
Если значение параметра E не принадлежит к числу собственных значений (2.3.33), то ему соответствует тривиальное решение уравнения u(x) ≡ 0.
Аналогично ведут себя решения задач о стационарных связанных состояниях микросистем с любым числом степеней свободы.
Таким образом, квантовая механика подтверждает гипотезу Н. Бора (см. п/п. 1.4.1) о существовании стационарных состояний микросистемы (в частности, атома) и о том, что эти состояния образуют счётное множество, а значения энергии, соответствующей различным стационарным состояниям, образуют дискретный спектр (2.3.33). Иначе говоря, показано, что энергия таких систем «квантуется», т.е. изменяется скачками или порциями
— квантами.
Поскольку стационарные состояния имеют место, когда микросистема замкнута (изолирована), то переход микросистемы из стационарного состояния под номером n, которое описывается волновой функцией (2.3.21)
|
|
i |
|
|
|
ψn (t, q f ) = exp |
− |
|
Ent un (q f ) , |
(2.3.36) |
|
h |
|||||
|
|
|
|
129
в другое стационарное состояние под номером m, которое описывается волновой функцией
ψm (t, q f ) = exp − hi Emt um (q f ),
может происходить только под действием внешнего поля — например, электромагнитного. В последнем случае:
• Если энергия микросистемы в результате этого перехода уменьшилась, E = Em − En < 0, то высвободившаяся в результате такого перехода порция энергии микросистемы излучается в виде фотона, частота или длина волны которого определяется формулой Бора – Эйнштейна – Планка (см.
п/п. 1.4.1)
ν = |
|
|
Em − En |
|
|
; |
λ = |
2πhc |
. |
(2.3.37) |
|
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Em − En |
|
|||||
|
|
|
2πh |
|
|
|
|||||
•Если, напротив, рассматриваемый переход был вызван тем, что микросистема поглотила из электромагнитного поля фотон с частотой или длиной волны (2.3.37), то энергия микросистемы в результате этого перехода возрастёт на величину E = Em − En > 0.
Врезультате переходов, сопровождающихся излучением фотонов, между различными стационарными состояниями множества «возбуждённых» атомов или молекул, из которых
130
состоит нагретый газ, спектр излучения такого вещества оказывается линейчатым, т.е. состоящим из отдельных спектральных линий с длинами волн или частотами (2.3.37). Именно такая картина и наблюдается в спектроскопических экспериментах. Квантовая механика объясняет этот факт, необъяснимый с позиций классической физики (см. п/п. 1.1.6, №2), и позволяет правильно вычислить длины волн наблюдаемых спектральных линий.
Заметим, что если через холодный (самостоятельно не излучающий) газ, состоящий из атомов или молекул с энергетическим спектром (2.3.33), пропускать поток излучения внешнего источника с непрерывным спектром, который содержит электромагнитные волны с частотами (длинами волн) (2.3.37), то будет наблюдаться спектр поглощения газа. Он выглядит как набор тёмных спектральных линий на ярком непрерывном фоне: фотоны с длинами волн (2.3.37) поглощаются частицами газа (т.е. для электромагнитных волн этих частот газ оказывается непрозрачным), а фотоны с другими длинами волн свободно сквозь него проходят, как через прозрачную среду.
Детали взаимодействия электромагнитного поля с веществом, механизмы излучения и поглощения изучаются квантовой электродинамикой.
В этом пособии читатели познакомятся с решением нескольких простейших задач о связанных состояниях микрочастицы:
131