4.3.3.Почему динамические переменные микросистем представляются в квантовой механике только самосопряжёнными операторами?
4.3.4.Что такое полная система собственных функций?
4.3.5.Почему построение процедуры разложения произвольной волновой функции в обобщённый интеграл Фурье по собственным функциям самосопряжённого оператора, обладающего непрерывным спектром собственных значений, невозможно без введения дельта – функции Дирака? Ведь в случае дискретного спектра собственных значений оператора для разложения той же функции по его собственным функциям в обобщённый ряд Фурье удаётся обойтись традиционным математическим аппаратом.
4.4.Распределение вероятностей динамической переменной
4.4.1.Вероятность результата измерения динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
Заметим теперь, что коэффициент (4.3.23)
cn =<ψF |ψ >. |
(4.4.1) |
n |
|
249
разложения (4.3.22) волновой функции микросистемы ψ(t, q) |
по |
|
собственным функциям ψF |
(t, q) самосопряжённого оператора |
ˆ |
F , |
||
n |
|
|
обладающего дискретным |
спектром собственных значений |
|
F1, F2 ,..., Fn ,..., представляет собой амплитуду перехода
микросистемы из состояния ψ(t, q) в состояние ψFn (t, q) (см.
п/п. 4.1.3). В соответствии с (4.1.9) квадрат модуля величины (4.4.1) есть вероятность соответствующего перехода:
c |
n |
|
2 = |
|
<ψ |
F |
|ψ > |
|
2 = w(ψ →ψ |
F |
)≡ w . |
(4.4.2) |
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы знаем, что в произвольном состоянии микросистемы ψ(t, q)
динамическая переменная (физическая величина) F, вообще говоря, является случайной величиной, а в состоянии ψFn (t, q) — имеет
строго определённое значение F =Fn . В какой же физической ситуации может произойти переход микросистемы, которому соответствует амплитуда (4.4.1) и вероятность (4.4.2)? Очевидно, это — измерение динамической переменной (физической величины) F, результатом которого является одно из возможных значений F1, F2 ,..., а именно F =Fn .
Таким образом, величина wn (4.4.2) представляет собой вероятность случайного события, состоящего в том, что при измерении физической величины F микросистемы, находящейся в состоянии ψ(t, q), получится значение Fn .
250
Проверим, что если волновая функция ψ(t, q) нормирована на
1,
∫ |
|
ψ(t, q) |
|
2dq = ∫ψ *(t, q)ψ(t, q)dq =1, |
(4.4.3) |
|
|
||||
|
|
|
то и распределение вероятностей wn нормировано, т.е.
∑wn =1. |
(4.4.4) |
n≥1 |
|
Для этого подставим в подынтегральное выражение (4.4.3) вместо ψ(t, q) разложение (4.3.22), а вместо ψ *(t, q) — разложение
ψ *(t, q) = ∑cm *ψF *(t, q) . |
(4.4.5) |
m≥1
m
Поменяем в полученном выражении порядок суммирования и интегрирования и вынесем за знак интеграла константы:
1 = ∑∑cm *cn ∫ψFm *ψFn dq .
m≥1n≥1
А теперь воспользуемся условием |
ортонормированности |
||
собственных функций оператора |
ˆ |
(4.3.21) |
и свойством символа |
F |
|||
Кронеккера δmn (4.3.16):
251
1 = ∑∑cm *cnδmn = ∑cn *cn = ∑cn 2 = ∑wn .
m≥1n≥1 |
n≥1 |
n≥1 |
n≥1 |
Равенство (4.4.4) доказано.
4.4.2. Среднее значение динамической переменной: дискретный спектр собственных значений
Математическое ожидание (среднее значение) результата измерения дискретной случайной величины F в состоянии микросистемы ψ(t,q) по определению (2.1.14) равно
|
= ∑wn Fn . |
(4.4.6) |
F |
||
|
n≥1 |
|
Покажем, что величину (4.4.6) можно подсчитать по гораздо более простой формуле, не требующей предварительного расчёта собственных функций и собственных значений оператора, а также суммирования по множеству этих значений:
|
ˆ |
ˆ |
(4.4.7) |
|
|||
F(t) = ∫ψ *(t, q)Fψ (t, q)dq ≡<ψ | F |ψ > |
|||
[см. обозначение (4.2.1)].
С этой целью разложим функции в подынтегральном выражении (4.4.7) в ряды (4.3.22), (4.4.5) и воспользуемся тем, что
252