3.2.2. Вычисление собственной функции оператора импульса в одномерном случае

Естественно, «координатная» часть собственной функции оператора импульса u px (x) (3.2.6) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера (2.3.19). С учётом (3.2.2) оно имеет вид

Нетрудно показать (см. решение задачи 2.3.1), что при E <Φ0

уравнение (3.2.9) имеет только тривиальное решение u px ≡ 0.

Нетривиальные решения существуют при E ≥ Φ0 . Обозначим

(параметр k действителен) и для определённости выберем k ≥ 0. Тогда (3.2.9) приобретёт вид

Общее решение уравнения (3.2.11) можно выбрать в действительном виде

164

либо в комплексном:

Обе функции (3.2.12), (3.2.13) являются пространственно – периодическими, т.е. удовлетворяют условию (3.2.8), если

Из (3.2.14) следует, что k — волновое число [см. (1.4.7) в п/п. 1.4.1]. С учётом (3.2.4) из (3.2.14) получим следующую связь между

волновым числом и импульсом частицы:

[ср. с формулой (1.4.5) из п/п. 1.4.1].

Таким образом, оба общих решения (3.2.12), (3.2.13)

удовлетворяют третьему требованию из п/п. 3.2.1.

Далее, подставляя (3.2.15) в (3.2.10), получим соотношение, связывающее импульс с параметром E в стационарном уравнении Шрёдингера для свободной микрочастицы (3.2.9):

165

Соотношение (3.2.16) представляет собой, очевидно, не что иное, как функцию Гамильтона (см. п/п. 1.2.7) свободной частицы с одной степенью свободы, которая есть полная энергия частицы, выраженная через её импульс (от координат эта функция в данном случае не зависит). Таким образом, гипотеза о том, что параметр E в стационарном уравнении Шрёдингера, который является собственным значением оператора Гамильтона, есть сохраняющаяся энергия микросистемы, в рассматриваемом случае полностью подтверждается.

Но поскольку, следовательно, левая часть соотношения (3.2.16) является константой, т.е. не случайной, а вполне определённой величиной, то и импульс свободной микрочастицы

px = 2m(E −Φ0 )

тоже имеет определённое значение.

Итак, оба общих решения (3.2.12), (3.2.13) удовлетворяют и

первому требованию из п/п. 3.2.1.

Между тем ни одно из общих решений (3.2.12), (3.2.13)

уравнения Шрёдингера, как легко проверить, не удовлетворяет второму требованию (3.2.7). Поэтому левая часть ни одного из соотношений (3.2.12), (3.2.13) в действительности не является собственной функцией оператора импульса u px (x) .

166

Попытаемся, однако, подбирая произвольные постоянные в общих решениях (3.2.12), (3.2.13) уравнения Шрёдингера, найти такое нетривиальное частное решение, которое бы удовлетворяло второму требованию (3.2.7). Нетрудно убедиться, что с решением в форме (3.2.12) этого не удастся достигнуть никаким подбором произвольных постоянных. Вместе с тем нужный результат получим, положив равной нулю любую из двух произвольных постоянных в общем решении (3.2.13) — например, если A2 = 0, то

При этом

Соотношение (3.2.18) полностью соответствует равенству (3.2.7), которое выражает второе требование.

Теперь заметим, что обоим слагаемым в общем решении (3.2.13) нетрудно придать идентичный вид, если для их записи использовать соотношение (3.2.15):

167

Соотношение (3.2.19) полностью удовлетворяет всем трём требованиям, предъявляемым к собственным функциям оператора импульса, и к тому же явно зависит от значения импульса микрочастицы. Именно это выражение мы и будем в дальнейшем считать пространственной частью искомой собственной функции. Сама же собственная функция оператора импульса (3.2.6) с учётом

(3.2.19) имеет вид

Что же касается общего решения стационарного уравнения Шрёдингера для свободной частицы (3.2.13), то оно представляет собой линейную комбинацию двух собственных функций оператора импульса (3.2.19), одна из которых, как видно из (3.2.15), соответствует направлению импульса вдоль оси x, px = +hk , а

вторая — противоположному направлению, px = −hk :

так что

u(x) =α1u+hk (x) +α2u−hk (x) . (3.2.21)

Волновая функция (3.2.21) описывает стационарное состояние микрочастицы, представляющее собой суперпозицию (смесь) двух

168