её состояний, в каждом из которых импульс частицы — один и тот же по абсолютной величине, но его направления противоположны: px = +hk и px = −hk . Коэффициенты α1 и α2 задают «пропорцию», в которой «смешаны» два состояния микрочастицы с указанными определёнными значениями импульса. Разумеется, в самом «смешанном» состоянии (3.2.21) импульс микрочастицы определённого значения не имеет.

Мы видим, что нетривиальные решения (3.2.13), (3.2.21) уравнения Шрёдингера для свободной частицы (3.2.9) имеются при любых значениях её энергии E ≥ Φ0 , т.е. у такой частицы — непрерывный энергетический спектр. Этот результат полностью согласуется с общими теоретическими положениями (п/п. 2.3.5).

3.2.3. Оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы

Чтобы построить оператор импульса pˆ x , собственной функцией которого являются функции (3.2.19), (3.2.20), а собственным значением — величина px , запишем, используя

(2.3.26), оператор Гамильтона свободной частицы, фигурирующий в левой части стационарного уравнения Шрёдингера (3.2.9),

169

и сравним его вид с функцией Гамильтона классической свободной частицы с одной степенью свободы (3.2.16)

Не может не броситься в глаза сходство выражений (3.2.22) и (3.2.23). Но можно добиться и ещё большего сходства, если формально переписать оператор Гамильтона (3.2.22) в виде

где фигурирует новый оператор

Будем рассматривать оператор (3.2.25) как квадрат искомого оператора импульса.

Вообще квадратом любого оператора Fˆ называется такой оператор Fˆ 2 , результатом действия которого на любую функцию ψ (см. п/п. 2.5.1) является повторное действие на эту функцию оператора Fˆ :

170

Воздействовав оператором (3.2.26) на собственную функцию оператора импульса (3.2.19), (3.2.20) (т.е. продифференцировав её и умножив результат на ih), вместо правильного результата (3.2.1) получим неправильный [точнее, не соответствующий выбору в качестве собственной функции оператора импульса именно функции (3.2.19), а не альтернативного выражения со знаком «минус» в показателе экспоненты]:

pˆ xψ px (t, x) = −pxψ px (t, x) .

Следовательно, оператор (3.2.26) не является оператором импульса, если собственная функция оператора импульса выбрана в виде

(3.2.19), (3.2.20).

Напротив, проделав ту же операцию с оператором (3.2.27), получим правильный результат (3.2.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что оператор (3.2.27) есть искомый оператор импульса микрочастицы с одной степенью свободы.

Как мы видим, у оператора импульса pˆ x — непрерывный спектр собственных значений в интервале –∞ ≤ px ≤ ∞. Этот результат — очевидное следствие непрерывности энергетического спектра свободной частицы (3.2.16) (см. последний абзац п/п. 3.2.2).

Наводящие рассуждения о сходстве функции Гамильтона классической частицы H (x, px ) (3.2.23) и оператора Гамильтона

квантовой частицы ˆ (3.2.24), которые позволили нам «угадать»

H

вид оператора импульса pˆ x , основаны на так называемом принципе

172