Определение коэффициентов влияния β и γ.

Коэффициенты влияния β и γ представляют собой безразмерные множители в выражениях прогиба узловой точки балки главного направления от нагрузки Q₁ и реакции R_j соответственно. Для их определения необходимо воспользоваться выражениями упругой линии балки главного направления для этих нагрузок.

В соответствии с таблицами изгиба балок [ 1 ] выражение упругой линии для свободно опертой балки главного направления от действия равномерно распределенной нагрузки с учетом обозначений рис. 3.4 имеет вид

Таким образом, коэффициент влияния β определяется соотношением

в котором вместо y нужно подставить координату узловой точки.

Для рассматриваемого случая, при y = b,

Для этой же балки по таблицам находим прогиб в узловой точке под действием реакции R_j

что позволяет найти коэффициент влияния γ по формуле

Определение коэффициента жесткости упругого основания к и интенсивности нагрузки q(X) перекрестной связи.

Коэффициент жесткости упругого основания перекрестной связи находится по формуле (3.3), то есть

В данном примере q(x) = q₃(x), так как непосредственно на перекрестную связь внешняя распределенная нагрузка не действует. Поэтому в соответствии с формулой (3.2) имеем

Определение упругой линии перекрестной связи.

Расчетная схема перекрестной связи изображена на рис. 3.5.

Решение дифференциального уравнения изгиба перекрестной связи (3.1) ищется в виде (3.7). Общий интеграл w_о.у однородного уравнения возьмем в форме (3.8). Так как интенсивность нагрузки равномерна по длине балки, удовлетворяется условие (3.11), и частное решение для нагрузки q можно искать в виде (3.12).

Перекрестная связь загружена еще сосредоточенной силой Р в точке x = c.

Поэтому необходимо дополнить частное решение. Для этого воспользуемся зависимостью (3.13) для прерывистой нагрузки. В случае действия только сосредоточенной силы Р частное решение будет иметь вид

Тогда можно привести окончательное выражение для упругой линии перекрестной связи

Для определения произвольных постоянных D_i в решении (3.14) дифференциального уравнения изгиба перекрестной связи используются граничные условия на концах балки при x = 0 и x = L.

Граничные условия:

Продифференцируем функцию упругой линии w(x) последовательно три раза по координате х. Тогда с учетом свойств функций Пузыревского (3.10) будем иметь

Подчиняя решение (3.14) граничным условиям при х = 0 и учитывая значения функций Пузыревского и их производных (3.9), получим

откуда

Принимая во внимание значения произвольных постоянных (3,19) и подчиняя w(x) граничным условиям (3.15) при х = L, получим следующие два уравнения

Функции Пузыревского по таблицам справочника [1]. Они равны

В результате подстановки в систему (3.20) известных величин будем иметь

откуда

Определение элементов изгиба перекрестной связи.

С учетом найденных значений произвольных постоянных D_i и зависимостей (3.14), (3.17), (3.18) будем иметь:

для середины пролета перекрестной связи (х =L /2)

прогиб

изгибающий момент

в заделке перекрестной связи изгибающий момент

перерезывающая сила

перерезывающая сила на правой опоре

Определение реакций взаимодействия перекрестной связи

с балками главного направления.

Для крайних балок главного направления реакции со стороны перекрестной связи определяются по формуле

Реакцию взаимодействия средней балки главного направления с перекрестной связью определяем по формуле (3.6), принимая приближенно прогиб узловой точки прогибу среднего сечения перекрестной связи,

Построение эпюр изгибающих моментов и перерезывающих сил

балок главного направления.

Крайняя балка главного направления.

При построении эпюр используются данные таблиц элементов изгиба балок [1] для отдельных видов нагрузок. Для рассматриваемой крайней балки главного направления (рис. 3.6) реакции на левой и правой опорах равны

Суммарная эпюра перерезывающих сил строится методом наложения эпюр для составляющих видов нагрузки. Она приведена на рис 3.6. Максимальная величина перерезывающей силы составляет 0,385Q₁.

Изгибающий момент по длине балки от нагрузки Q₁ и реакции R₁ имеет следующие выражения:

Эпюра изгибающих моментов приведена на рис. 3.6. Максимальное значение момента равно