7. Чисельне диференціювання
Рішення ряда задач (визначення молярної теплоти пароутворення рідини, обчислення граничної адсорбції поверхнево-активних речовин на границі розчин – повітря) передбачає диференціювання одержаної експериментальної залежності. Графічне диференціювання, котре зводиться до різних способів побудови дотичних у точках кривої у = f(x), на жаль, робить отриманий результат більш суб’єктивним й, очевидно, створює серйозні похибки. Чисельні методи диференціювання дозволяють звести ці помилки до мінімуму.
Один з способів визначення похідних експериментальної залежності у = f(x) оснований на диференціюванні інтерполяційного многочлена Ньютона.
Хай вузли інтерполяції x0, x2,…….. xn рівновіддалені. Тоді, якщо задане значення аргумента знаходиться ближче до початка таблиці, похідна цієї функції:
(41)
де q = (x – x0)/h і h = xi+1 - xi.
При знаходженні похідних у´ в заданій точці х в якості х0 слід брати найближче табличне значення аргумента.
Для наближеного обчислення похідних функції f(x) у вузлах інтерполяції, тобто при х = х0 (в якості х0 можна взяти будь-яке табличне значення аргумента) можна використовувати спрощені формули:
Щоб обчислити значення похідної в точці, яка розташована ближче до кінця таблиці, слід скористатися формулою:
(43)
При х = xn і q = 0 формула (43) спрощується
Приклад 7.1. По залежності тиску насиченої пари від температури визначите молярну теплоту випаровування води при Т1 = 356,5 К та Т2 = 366,5 К.
-
Т, К
350,0
356,5
362,0
366,5
370,5
Р, мм. рт. ст.
300
400
500
600
700
Рішення
Як відомо (приклад 3.1), для процесів випаровування і сублімації рівняння Клапейрона – Клаузіуса набуває вигляду:
(45)
Отже, молярна теплота випаровування
і
для її обчислення необхідно визначити
похідні
при
температурах Т1
= 356,5 К та Т2
= 366,5 К. Оскільки при виконанні лабораторної
роботи задають тиск, позначимо х = P та
у = Т. Розраховуємо кінцеві різниці та
заносимо результати в таблицю.
Таблиця 7.1
Кінцеві різниці
-
i
x
y
Δуi
Δ2уi
Δ3уi
Δ4уi
0
300
350,0
6,5
-1
0
0,5
1
400
356,5
5,5
-1
0,5
2
500
362,0
4,5
-0,5
3
600
366,5
4
4
700
370,5
–
–
–
–