6. Інтерполювання функцій
Хай деяка функція y = f(x) задана таблицею:
-
х0
х1
х2
…..
xn
у0
у1
у2
…..
yn
Треба знайти многочлен y(х) степеня n, який приймає у заданих точках xi ті ж значення, що і f(x). Таку задачу називають задачею параболічного інтерполювання (або інтерполяції), функцію f(x) – інтерполюємою функцією, многочлен y(х) – інтерполяційним многочленом, формули для його побудови – інтерполяційними формулами, процес обчислення значень функції f(x) в точках х, які відрізняються від узлів інтерполяції – інтерполюванням функції.
Побудова інтерполяційних формул значно спрощується, коли вузли інтерполяції х0, х1, х2, …… xn є рівновіддаленими, тобто крок інтерполяції h = xi+1 - xi. Перш, ніж перейти до виведення інтерполяційних формул, необхідно познайомитись з поняттям кінцевих різниць.
Кінцева різниця першого порядку – разниця між значеннями функції в сусідніх вузлах інтерполяції:
Δуi-1 = yi - yi-1 (37).
З кінцевих різниць першого порядку можна розрахувати кінцеві різниці другого порядку, а кінцеві різниці n-го порядку визначаються формулами:
Δnуn-1 = Δn-1yi+1 - Δn-1yi (38).
Для інтерполювання функції при х, які знаходяться на початку таблиці, використовують першу інтерполяційну формулу Ньютона:
де q = (х – х0)/h.
Другою інтерполяційною формулою Ньютона зручно користуватися для інтерполювання (екстраполювання) функції y = f(x), якщо х знаходиться в кінці таблиці:
де q = (х – хn)/h.
Приклад 6.1. Питома електропровідність 0,02 н. розчину хлорида калію залежить від температури наступним чином.
-
t°C
10
15
20
25
30
χ, Cм/м
0,1994
0,2243
0,2501
0,2765
0,3036
Визначите електропровідність розчину при 12°С та 22°С.
Рішення
Позначимо x = t и у = χ. Побудуємо таблицю кінцевих різниць.
Таблиця 6.1.
Кінцеві різниці
-
х
у
Δуi
Δ2уi
Δ3уi
Δ4уi
10
0,1994
0,0249
0,0009
-0,0003
0,0004
15
0,2243
0,0258
0,0006
0,0001
20
0,2501
0,0264
0,0007
25
0,2765
0,0271
30
0,3036
Оскільки 12°С розташовані ближче до початку таблиці, скористуємося рівнянням (39). За х0 приймемо 10°С. Знайдемо h = 5. Тоді q = (12-10)/5 = 0,4. Підставив підкреслені різниці з таблиці 6.1 в (39), одержимо
Таким чином, при 12°С питома електропровідність розчину хлорида калію складає 0,2092 См/м.
Оскільки 22°С знаходиться ближче до кінця таблиці, скористуємося формулою (40), прийняв xn = 25 и yn=0,2765. Розрахуємо q = (22-25)/5 = -0,4. Підставив у (40) двічі підкреслені значення кінцевих різниць, одержимо
Таким чином, при 22°С питома електропровідність розчину хлорида калію складає 0,2658 См/м.