3. Визначення коефіцієнтів рівняння прямої графічним шляхом

Досить часто при обробці експериментальних даних їх представляють в, так званих, лінійних координатах, які є максимально зручними для обробки, особливо графічної. Експериментальні дані в таких координатах описуються рівнянням прямої лінії. При цьому обробка зводиться до знаходження рівняння одержуваної прямої. Для цього прибігають або до чисельних методів, наприклад до методу найменших квадратів (МНК), або до графічного способу.

Рівняння прямої звичайно записується у вигляді: , де коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом рівняння прямій і є похідній ; коефіцієнт дорівнює відрізку, що відтинає пряма на осі ординат (на осі ). Коефіцієнт указує на характер залежності y від x. Якщо , то пряма носить зростаючий характер, тобто з ростом x збільшується значення y (рис. 10). Якщо , то пряма носить спадний характер, тобто з ростом x зменшується значення y (Рис. 11).

Рис. 10.	Рис. 11.

Для знаходження кутового коефіцієнта (похідній) на прямій беруться дві точки (точка 1 і точка 2 на рис. 10, 11); із цих точок опускаються проекції на осі й визначаються їхні координати. Кутовий коефіцієнт розраховується в такий спосіб:

.

Увага. При побудові графіка повинні бути дотримані "позитивні напрямки осей", тобто напрямку в яких зростають значення аргументу й функції. Для осі абсцис (осі Х) – це напрямок ліворуч праворуч, а для осі ординат (вісь Y) – це напрямок знизу нагору.

Для прямої, яка наведена на рис. 10 .

Для прямої, що наведена на рис. 11 .

Коефіцієнт рівняння прямої визначається за значенням функції, що відтинає пряма на осі ординат (рис. 10, 11). На рис. 10 = 2, а на Рис. 11 = 16.

Увага. Для знаходження коефіцієнта масштаб осі абсцис (осі Х) необхідно вибирати так, що б на цій осі був присутнє початок відліку й вісь ординат (вісь Y) повинна проходити через Х = 0.

Приклад 3.1. За експериментальною залежноостю температури кипіння від зовнішнього тиску визначите теплоту випаровування води.

P,мм.рт.ст.	Т1, К	Т2, К	Т3, К
700	370	369	371
565	365	364	366
460	358	362	360
355	355	353	354
295	351	349	350
235	343	344	345
165	339	337	335

Рішення

Молярну теплоту паротворення рідини знаходять шляхом математичної обробки експериментальної залежності температури кипіння досліджуваної рідини від тиску.

Залежність температури фазового переходу від тиску, а також залежність тиску насиченої пари від температури виражається рівнянням Клапейрона-Клаузиуса:

(20)

де ∆H – теплота фазового перехода, котра не залежить від тиску, а залежить від природи речовини й виду фазового переходу;

T – температура фазового перехода;

∆V_M – зміна об'єму системи в процесі фазового перехода;

– похідна, яка чисельно дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, яка проведена в даній точці залежності P=f(T) (рис. 12).

Знак похідної вказує на характер залежності температури фазового переходу від тиску (тиску насиченої пари від температури). Якщо , то з ростом тиску температура фазового переходу зростає, а також росте й тиск насиченої пари з ростом температури. Якщо , то з ростом тиску температура фазового переходу зменшується, а також зменшується й тиск насиченої пари з ростом температури.

Для процесів пароутворення – конденсації й сублімації – десублімації ∆V_M = V_{M, г.} - V_{M, ж(т)}  V_{M, м,} тому що V_{M, г.} >> V_{M, ж(т)}. Якщо пара підкоряється рівнянню Менделеева-Клапейрона, то рівняння Клапейрона-Клаузиуса можна записати в наступному виді:

(21)

Однак, для практичного застосування рівняння в диференціальному виді інтегрують

(22)

Після інтегрування одержуємо

(23).

Дане рівняння є рівнянням Клапейрона-Клаузиуса для процесів паротворення – конденсація (сублімація – сублімація) в інтегральному виді для двох температур. Рівняння може бути використане для наближеного розрахунку теплоти фазового перетворення за значеннями температури фазового переходу при двох тисках.

Якщо рівняння (22) проінтегрувати невизначеним інтегралом, то одержуємо наступне інтегральне рівняння Клапейрона-Клаузиуса:

(24).

Дане рівняння лежить в основі визначення теплоти фазових переходів графічним методом. Для цього експериментальні дані залежності температури, наприклад, кипіння від тиску представляють у графічному виді в, так званих, лінійних координатах. Якщо зіставити рівняння прямої лінії з рівнянням (24), то стає ясним у яких координатах необхідно представляти експериментальні дані для одержання лінійної залежності: , , а кутовому коефіцієнту (похідній ) буде відповідати значення .

Рис. 12	Рис. 13

Перед експериментом необхідно провести попередню підготовку вимірювальної установки й упевниться, що манометр і термометр забезпечують необхідну точність виміру. Для одержання максимально достовірних експериментальних даних експеримент необхідно проводити мінімум три рази. Отримані експериментальні дані заносяться в таблицю. Для зручності наступної обробки дані серії вимірів необхідно проводити при тих самих значеннях тиску.

У найпростішому випадку при обробці декількох серій експериментів знаходять середнє арифметичне відповідних аргументів (у нашому випадку це Т).

Увага. Тому що подальша обробка експериментальних даних полягає в знаходженні кутового коефіцієнта прямої, то не має значення в яких одиницях виміру представляти значення тиску для обробки.

Увага. При розрахунку значень 1/Т необхідно враховувати правила для точності розрахунку й округлення значень (див. розділ 1). Так як значення Т_сер містять три значущі цифри, то значення 1/Т також повинне містити три значущі цифри.

P, мм.рт.ст.	Т1, К	Т2, К	Т3, К	Тсер, К	1/Т, К-1	ln(P, мм.рт.ст.)
700	370	369	371	370	0,00270	6,551
565	365	364	366	365	0,00274	6,337
460	358	362	360	360	0,00278	6,131
355	355	353	354	354	0,00282	5,872
295	351	349	350	350	0,00286	5,687
235	343	344	345	344	0,00291	5,460
165	339	337	335	337	0,00297	5,106

Подальша обробка експериментальних даних може бути проведена як з використанням чисельних методів, таких як метод найменших квадратів, розрахунку коефіцієнта кореляції й т. ін. (розділ 4), так і графічним методом. В даному прикладі мы роздивимось обробку другим способом.

Для цього значення й наносяться на графік у вигляді добре помітних точок (про побудову графіків див. розділ 2). Необхідно відзначити, що експериментальні дані завжди містять систематичні й(або) випадкові помилки і їхня обробка полягає в чисельній (МНК) або графічної апроксимації.

Графічна апроксимація (у цьому випадку лінеаризація) зводиться до того, що через нанесені точки проводиться пряма лінія, таким чином, щоб "вага" експериментальних точок не попадають на пряму з одного боку прямої був урівноважена "вагою" точок з іншого боку прямої

Рис. 14.

Потім графічним шляхом визначається кутовий коефіцієнт побудованої прямої (похідну ). Для цього на прямій вибираємо дві точки; із цих точок опускаємо проекції на осі, і знаходимо координати обраних точок (рис. 14). Зверніть увагу, що на рис. 14 наведена другая, інша, більше правильна, форма підпису значень на осі на відміну від рис. 13. Знайдені координати точок 1 і 2 мають такі значення: lnР₁=6,469, =2,72∙ 10^-3 К^-1, lnР₂=5,252, =2,94∙ 10^-3 К^-1.

Знаходимо похідну:

.

В свою чергу похідна дорівнює .

Звідси обчислюємо значення молярної теплоти пароутворення води:

Розраховуємо питому теплоту паротворення води: