5. Надійний інтервал
Надійний інтервал експериментальної величини х, яку визначено n раз, обчислюють у наступному порядку:
1) визначення середнього арифметичного n значень х:
. (34);
2) розрахунок середньоквадратичного відхилення
(35);
3) визначення критерію Стьюдента t (по таблиці 5.1);
4) тоді надійний інтервал складає
(36),
тобто
істинне значення вимірюваної величини
з надійною ймовірністю ps
лежить у границях [
;
].
Надійну ймовірність приймають рівною
0,9, тобто сумнівне значення можна
відкинути, якщо статистична ймовірність
того, що результат одержаний з неприпустимо
грубою помилкою, складає 90 %.
Приклад розрахунку надійних інтервалів оцінки регресії наведений у прикладі 5.1.
Таблиця 5.1
Значення критерію Стьюдента для розрахунку надійних границь
Число вимірю-вань, n |
Ступені свободи |
Коефіцієнти Стьюдента при значеннях надійної ймовірності |
||||
0,80 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
||
2 |
1 |
3,08 |
6,31 |
12,7 |
63,7 |
637 |
3 |
2 |
1,89 |
2,92 |
4,30 |
9,92 |
31,6 |
4 |
3 |
1,64 |
2,35 |
3,18 |
5,84 |
12,9 |
5 |
4 |
1,53 |
2,13 |
2,78 |
4,60 |
8,60 |
6 |
5 |
1,48 |
2,02 |
2,57 |
4,03 |
6,86 |
7 |
6 |
1,44 |
1,94 |
2,45 |
3,71 |
5,96 |
8 |
7 |
1,42 |
1,90 |
2,36 |
3,50 |
5,40 |
9 |
8 |
1,40 |
1,86 |
2,31 |
3,36 |
5,04 |
10 |
9 |
1,38 |
1,83 |
2,26 |
3,25 |
4,73 |
11 |
10 |
1,37 |
1,81 |
2,23 |
3,17 |
4,59 |
12 |
11 |
1,36 |
1,80 |
2,20 |
3,11 |
4,44 |
Продовження таблиці 5.1
Число вимірю-вань, n |
Ступені свободи |
Коефіцієнти Стьюдента при значеннях надійної ймовірності |
||||
0,80 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,999 |
||
13 |
12 |
1,36 |
1,78 |
2,18 |
3,06 |
4,32 |
14 |
13 |
1,35 |
1,77 |
2,16 |
3,01 |
4,22 |
15 |
14 |
1,34 |
1,76 |
2,14 |
2,98 |
4,14 |
∞ |
∞ |
1,29 |
1,64 |
1,96 |
2,58 |
3,29 |
Приклад 5.1. Використуйте метод найменших квадратів для побудови калібрувального графіка при спектрофотометрічному визначенні тропеоліну та обчислите надійний інтервал оцінки регресії.
-
С, моль/л
0,00033
0,00100
0,001650
0,00230
D
0,05
0,175
0,260
0,365
Рішення
Позначимо х = D та у = С. Наведемо у таблиці 5.2, крім вихідних даних, результати обчислювань коефіцієнтів системи (27).
Таблиця 5.2
Вихідні дані та результати побудови калібрувального графіка
методом найменших квадратів
-
№
х
у
(хi)2
(уi)2
xi·уi
1
0,05
3,30·10-4
2,50·10-3
1,09·10-7
1,65·10-5
2
0,175
1,00·10-3
3,06·10-2
1,00·10-6
1,75·10-4
3
0,26
1,65·10-3
6,76·10-2
2,72·10-6
4,29·10-4
4
0,365
2,30·10-3
0,133
5,29·10-6
8,40·10-4
Суми
0,85
5,28·10-3
0,23395
9,12·10-6
0,00146
Підставимо розраховані суми до рівнянь (28) і (29), визначимо коефіцієнти многочлена:
Таким чином, коефіцієнт поглинання та концентрація розчину тропеоліну пов’язані співвідношенням:
С = 0,0063·D - 2,7·10-5.
Оскільки вільний член b дуже маленька величина, то, очевидно, що це свідчить про коректність як первинних експериментальних даних, так і одержаного рівняння регресії.
Для визначення надійних інтервалів одержаних коефіцієнтів слід, по-перше, отримати дисперсію відносно лінії регресії за рівнянням
по-друге, стандартне відхилення а
Тоді, надійний інтервал для а (якщо надійна ймовірність 90 % і критерій Стьюдента t = 2,35 (таблиця 5.1)).
εa = ±t·Say,x =±2,35·0,000297 = ±0,0007.