Задачи для самостоятельного решения.
Решить уравнения:
1.
.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Ответы: 1.
2.
.
3. 
4.
5.
,
.
6.
.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
,
.
14.
15.
16.
17. 
.
18.
.
19.
.
20. 
.
21.
22.
23. 
.
24.
25. 
.
§ 3. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка.
Интегрируемыми в квадратурах будут приводящиеся к однородным (или непосредственно к уравнениям с разделяющимися переменными) уравнения вида:
. (5)
Действительно,
если определитель
,
то мы сумеем найти такие
и
,
что подстановка
и
превратит это уравнение в однородное.
Для этого нужно выбрать
и
так, чтобы
а это возможно, если . Выполняя подстановку, получим:
.
Уравнение однородно,
ибо
.
Если определитель
,
то элементы его строк пропорциональны:
.
Тогда, применяя подстановку
,
получаем:
.
Таким образом, приходим к уравнению с
разделяющимися переменными:
.
Решение типовых примеров
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение:
и
(см. §2). В этом случае определитель
.
Сделаем
замену
.
.
Последнее уравнение
– уравнения с разделяющимися переменными.
Поэтому
.
Если
,
то
– общее решение. Еще имеется решение
.
Возвращаясь к исходным переменным,
получаем:
Ответ:
.
Пример 2.
Решить уравнение
Решение:
.
Сделаем
замену
Ответ:
Пример 3.
Решить уравнение
Решение:
и
.
Определитель
Следовательно, делаем замену
,
,
где
определяются из системы
.
Получаем однородное
уравнение
.
,
,
или
,
,
,
,
Ответ:
Пример 4.
Решить уравнение
.
Решение:
Приведем уравнение к виду
.
Тогда
,
.
Определитель
.
Сделаем замену
.
.
Проверка:
,
или
,
т.е.
.
Ответ:
Пример 5.
Решить уравнение
.
Решение:
.
Определитель
.
В этом случае определяем
из системы уравнений
Далее выполняем замену:
.
В новых переменных
уравнение примет вид
.
Получили
однородное уравнение
.
Тогда
,
,
,
,
или
,
,
Проверка:
,
,
Ответ:
Пример 6.
Решить уравнение
.
Решение:
,
.
Замена:
;
,
,
,
,
Ответ:
.
Пример 7.
Решить уравнение
.
Решение:
.
Замена:
,
,
,
Ответ:
.
Пример 8.
Решить уравнение
Решение:
Замена:
Тогда
или
Вводя
,
получаем
,
,
,
,
Проверка:
,
Ответ:
.
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения.
1.
.
2.
.
3.
. 4.
.
5.
. 6.
.
7.
. 8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
Ответы: 1.
2.
3. 
4.
5.
.
6.
7.
.
8. 
.
9.
10. 
11.
12. 
.