36

Лекция 4

3.Теорема Гаусса Теорема Гаусса (сформулирована для электростатического поля в 1830г.)

(1777-1855 – годы жизни Гаусса)

3.1. Поток вектора через поверхность.

Определим элементарный поток через элементарную поверхность:

Рис.1

Чтобы с помощью линий напряженности можно было характеризовать не только направление, но и значение напряженности электростатического поля их проводят с определенной густотой: число линий напряженности, пронизывающих единицу площади поверхности, перпендикулярную линиям напряженности, должно быть равно модулю вектора .

Число линий напряженности, пронизывающих элементарную площадку равно

Величина

- вектор элементарной площадки, который может быть определен по следующей формуле:

, где - вектор нормали к поверхности.

«Фи» -поток вектора через произвольную замкнутую поверхность.

Замечания.

1. С потоком вектора не связано никакое  реальное течение материи.

Рис.2. Две возможные ориентации нормали к элементу поверхности

2. Единичный вектор к площадке можно ориентировать в двух противоположных направлениях (рис.2). Одно из них условно принимается за положительное, в этом направлении и проводится нормаль, т.е. сторона площадки, из которой исходит нормаль, называется внешней, а противоположная ей - внутренней.

3. Размерность потока электрического поля следующая:

Наконец, рассмотрим свойство аддитивности потока вектора. В силу принципа суперпозиции вектор , описывающий электрическое поле системы зарядов, в каждой точке пространства представляется векторной суммой:

,где - вектор напряженности поля, создаваемогоi-м зарядом в той же точке наблюдения.

Умножая это соотношение скалярно на и вводяпоток поляi-го заряда через ту же самую поверхность получим

т.е. из того факта, что векторы поля складываются геометрически, следует, что их потоки через одну и ту же поверхность складываются алгебраически (принцип аддитивности потоков).Рис.2

3.2. Теорема Гаусса в интегральной форме.

Рассмотрим элементарную площадку , находящуюся в поле, созданном точечным источникомq, расположенным в точке наблюдения. Вектор нормали к площадке не совпадает с вектором напряженности поля в этой точке, - угол между вектором нормали к поверхности и вектором напряженности поля; r – расстояние от источника поля до площадки. Рассмотрим площадку , элементы которой перпендикулярны r. Найдем поток через площадку :

Введем понятие телесного угла:

Количественной мерой плоского угла является отношение длины дуги l к ее радиусу R. При этом центр кривизны находится в вершине угла.

Количественной мерой телесного угла является отношение площади поверхности фрагмента сферы, вырезаемой конусом с вершиной в центре сферы. К квадрату радиуса этой сферы.

Таким образом, в наших обозначениях - телесный угол.

Это пространственный угол, под которым из точки расположения точечного

заряда видна площадка (или- они видны под одним и тем же углом).

Тогда выражение для элементарного потока принимает вид:

Угол положителен, если площадкаобращена к заряду внутренней стороной, и отрицателен, если внешней.

Рассмотрим 2 случая.

1. Пусть заряд q расположен внутри некоторой замкнутой поверхности (контур, изображенный на рисунке, - след от пересечения нашей поверхности с плоскостью листа). Мы будем пользоваться понятием внешней нормали , которая направлена из части пространства, охватываемой поверхностью, наружу. Мы рассматриваем как раз тот случай, когда элементарная площадка обращена к заряду внутренней стороной, т.е. угол – положительное число. Найдем поток вектора напряженности через нашу поверхность. Так как поток – величина аддитивная, полный поток равен сумме элементарных потоков:

Полный телесный угол =. Для того чтобы в этом убедиться, представим, что в точке расположения заряда находится сфера (на рисунке, на правом экране, она–розовая, радиусом)и запишем отношение полной поверхности сферык квадрату ее радиуса. Получим как раз.

Итак, мы получили, что в случае, когда заряд находится внутри замкнутой поверхности, поток поля этого заряда через поверхность

2. Теперь рассмотрим случай, когда заряд находится вне рассматриваемой замкнутой поверхности. Из точки наблюдения, в которой расположен заряд, поверхность видна под телесным углом . На рисунке верхней части поверхности соответствует внешняя нормаль , и телесный угол, соответствующий этой части поверхности, будет иметь знак «+». Нижней же части поверхности

соответствует внешняя нормаль , телесный угол, соответствующий этой части поверхности, будет иметь знак «-». Тогда полный поток, пронизывающий нашу поверхность, может быть представлен в виде суммы двух потоков: , где - поток через верхнюю часть поверхности,- поток через нижнюю часть нашей поверхности. Распишем это выражение, учитывая, что поверхность со знаком «+» и поверхность со знаком «-» опираются на телесные углы равные по величине, но противоположные по знаку:

Т.е. получаем, что в случае, когда заряд находится вне замкнутой поверхности, поток этого заряда через поверхность = 0.

Мы рассмотрели только случай, когда поле создается единственным точечным зарядом. Если же поле создается системой точечных зарядов, то поток поля , проинтегрированный по всей замкнутой поверхности, в силу принципа суперпозиции может быть представлен в виде:

Замечание.

Подчеркнем, что речь идет только о замкнутой поверхности, поэтому на значке интеграла ставим кружочек. Также речь идет только о том заряде, который расположен внутри замкнутой поверхности, не на и не вне.

Случай, когда точечный заряд q находится на самой поверхности S, рассматривать не имеет смысла. Дело в том, что расстояние от точечного заряда до точек пространства, в которых он создает поле, должно быть велико по сравнению с размерами этого заряда. Это требование не выполняется для точек поверхности, на которой расположен точечный источник поля.

Однако поле создается не только тем зарядом, который попал в гауссову поверхность, а вообще всеми зарядами. Поток же поля определяется только теми зарядами, которые попали внутрь гауссовой поверхности.

- интегральная форма теоремы Гаусса.

Таким образом, электростатическая теорема Гаусса утверждает: поток поля через произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической величины суммарного заряда внутри этой поверхности к.