- •Глава II. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
- •§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§ 3. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка.
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
Глава II. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка, разрешенного относительно производной, если производную выразить через отношение дифференциалов, следующий:
. (1)
Рассмотрим основные типы уравнений вида (1), интегрируемых в квадратурах.
§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение (1) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функция представляет собой произведение функции переменной на функцию переменной :
. (2)
Предполагая и непрерывными в промежутках и соответственно и в , деля на и умножая на , мы добиваемся разделения переменных:
. (3)
Функции и непрерывны, а, следовательно, имеют первообразные: и . Поэтому (3) может быть переписано в виде:
. (4)
Из равенства дифференциалов двух функций (здесь рассматривается как функция от , определяемая дифференциальным уравнением) заключаем, что сами функции отличаются на постоянную:
, (5)
или
. (6)
Соотношение (5), или (6) и представляет собой общий интеграл уравнения (3), так как это соотношение, переписанное в виде
, (7)
удовлетворяет условиям теоремы о неявной функции; производные и непрерывны в области и . Поэтому уравнение (7) определяет как функцию от , непрерывную и дифференцируемую, причем
,
т. е. функции, определяемые уравнением (7), а, следовательно, и (6), являются решениями данного дифференциального уравнения.
Замечание 1. При различных значениях получаются различные функции. При фиксированном (выбор определяется начальными условиями ) решение единственное.
Замечание 2. Всякая функция , являющаяся решением данного уравнения (2), тождественно ему удовлетворяющая, должна удовлетворять и вытекающему из него соотношению (5) или (6). Таким образом, (6) действительно является общим интегралом. Кроме того, из (4) видно, что любые начальные условия из Q однозначным образом определяют надлежащее значение и, следовательно, соответствующее единственное решение.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема. Если в уравнении с разделяющимися переменными функции и непрерывны в интервалах и соответственно и , то общий интеграл этого уравнения выражается в квадратурах:
.
причем заданием начальных условий , где ‑ любая точка прямоугольника определяется единственное решение этого уравнения.
Интеграл (7) дифференциального уравнения, определяющий решение, удовлетворяющее начальным условиям, можно переписать в виде: или
Замечание. Если при некотором , то дифференциальное уравнение (2) имеет решение . Но так как интеграл при не существует (по крайней мере, как собственный), то это решение не входит в состав общего интеграла (6). Поэтому, если в дифференциальном уравнении , то уравнение, кроме общего интеграла, имеет еще решение , не получающееся из общего. Будет ли при этом решение особым? Этот вопрос требует специального рассмотрения.
Уравнение с разделяющимися переменными в симметрической форме имеет вид:
. (8)
Разделяя в нем переменные и интегрируя, получаем общий интеграл:
.
При этом, если или , то, кроме общего интеграла, будут еще решения: и , не получаемые из общего; соответствующие им интегральные кривые – прямые, параллельные осям координат.
Интеграл, удовлетворяющий начальным условиям , запишется в виде:
.