- •Глава II. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегрируемые в квадратурах
- •§ 1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •§ 3. Дифференциальные уравнения, приводимые к однородным дифференциальным уравнениям первого порядка.
- •Решение типовых примеров
- •Задачи для самостоятельного решения
Решение типовых примеров
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: Преобразуем данное уравнение: Разделив обе части последнего уравнения на , получим: или
.
Случаю соответствуют два дополнительных решения . Отметим, что уравнение можно упростить, взяв синус от обеих его частей:
или
Ответ: , .
Пример 2. Решить уравнение .
Решение: Разделив данное уравнение на , получим . Тогда
.
Дополнительные решения , определяемые из условия , получаются из общего интеграла при .
Ответ: .
Пример 3. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .
Решение: (подставили в общий интеграл начальные условия ), .
Ответ: .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение: ( ),
, .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение: , .
При , .
Так как – решения, то .
Ответ: .
Пример 6. Решить уравнение
Решение: где ; или а так как – решение, то
Ответ: .
Пример 7. Решить уравнение .
Решение:
. Но – решение, поэтому или .
Ответ: .
Пример 8. Решить уравнение
Решение:
Ответ: .
Пример 9. Решить уравнение
Решение:
.
Ответ:
Пример 10. Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 11. Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Задачи для самостоятельного решения
Решить уравнения:
1. , . 2. .
3. . 4.
5. . 6. .
7. .
8. . 9. .
10. при .
11. при . 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19.
20. .
21. 22.
23. 24. .
25.
Ответы: 1. . 2. 3. . 4. , . 5. . 6. 7. 8. . 9. . 10. . 11. 12. . 13. . 14. x 15. 16. 17. . 18. 19. 20. . 21. 22. 23. 24. . 25.
§ 2. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
К уравнениям с разделяющимися переменными после надлежащей подстановки приводятся однородные дифференциальные уравнения n-го порядка. Под однородным дифференциальным уравнением 1-го порядка мы понимаем уравнение , когда в нем функция представляет собой однородную функцию переменных и нулевой степени однородности и, следовательно, зависит от их отношения.
Функция называется однородной степени , если она удовлетворяет тождеству при любом .
Полагая , получаем: или . Обе переменные равноправны; поэтому также .
Таким образом, рассматриваемые уравнения будут иметь вид:
. (1)
Подстановкой мы добиваемся разделения переменных.
Так как , то , то подставляя в уравнение (1), получаем:
,
или
(2)
предполагая, что и , разделяем переменные и интегрируем:
,
Обозначая через , получаем общий интеграл уравнения (1) в виде:
. (3)
Так как подстановка привела нас к уравнению с разделяющимися переменными, то, опираясь на теорему об этих уравнениях, можем утверждать, что, если на некотором интервале непрерывна [для этого достаточно непрерывности ] и не обращается в нуль, то в области , такой, что , , уравнение (2) имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах, и через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая. Это же справедливо и для данного уравнения (1), из которого уравнение (2) получено подстановкой. При этом область ( , или , ), представляет внутреннюю часть двух вертикальных углов, ограниченных прямыми и , причем берутся те два угла, которые не содержат оси , поскольку .
Таким образом, является справедливой следующая теорема 1-го порядка.
Теорема. Однородное дифференциальное уравнение при условии, что непрерывна и на интервале , имеет общий интеграл, выражаемый в квадратурах. При этом через каждую точку области , лежащей внутри вертикальных углов, ограниченных прямыми и , не содержащей прямой , проходит единственная интегральная кривая.
В случае же, если найдутся такие значения , при которых , каждому такому , будет отвечать решение , или , не вытекающее из общего интеграла.
Следует отметить, что в том случае, когда , дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Для этого уравнения, как и вообще для уравнения (1), начало координат является особой точкой.
Уравнение в симметрическом виде
(4)
является однородным, когда – однородные функции одной и той же степени однородности:
, .
В этом случае подстановка приводит к разделению переменных.