Решение типовых примеров
Пример. Найти форму зеркала, собирающего параллельные лучи в одну точку, обладающую указанным свойством.
За ось
выберем прямую, параллельную лучам, а
за начало координат – точку, в которой
пересекаются все лучи после отражения.
Если LM
(см. рис. 1) –
луч, падающий на кривую и попадающий
после отражения в точку О,
то (по закону оптики угол падения равен
углу отражения) углы
и
,
которые образуют лучи LM
и МО
с касательной ТМ
к кривой в
точке М,
должны быть равны. Вследствие этого
треугольник ОТМ
равнобедренный, а потому ТО=ОМ.
Если
–
координаты
точки М,
то
.
Отрезок ОТ,
представляющий
абсциссу точки Т,
в которой касательная пересекает ось
,
находим из уравнения касательной:
.
Возьмем
.
.
Следовательно,
Так как
,
то получаем дифференциальное уравнение
задачи:
.
Написав его в симметрической форме:
(а)
видим, что оно
является однородным. Применяем подстановку
.
Тогда
.
Подставляя в (а), получаем:
или
Разделяем переменные и интегрируем:
;
;
. (б)
Далее разрешаем
(б) относительно
следующим образом:
;
умножая числитель и знаменатель дроби
на сопряженное со знаменателем выражение,
получаем:
. (в)
Складывая (б) и
(в), находим;
.
Следовательно,
.
Обозначая
,
получаем
окончательно:
.
Решением служит парабола, ось симметрии которой – ось , a фокус лежит в начале координат. Таким образом, ось искомой параболы параллельна пучку лучей, а фокус параболы лежит в оптическом фокусе. Вращая такую параболу вокруг оси , находим искомую зеркальную поверхность – параболоид вращения.
Очевидно, что если источник света поместить в начале координат (фокусе), то лучи после отражения пойдут параллельным пучком. В силу этого зеркалу прожектора придается форма параболоида вращения.
Пример 1. Решить
уравнение
.
Решение:
Проверим
однородность уравнения:
Сделаем замену:
.
Подставим в исходное
уравнение:
или
(получим уравнение с разделяющимися
переменными)
.
Ответ:
Пример 2.
Решить уравнение
.
Решение:
.
Ответ:
.
Пример 3.
Решить уравнение
.
Решение:
,
Ответ:
.
Пример 4.
Решить уравнение
Решение:
Если
,
то и
.
Ответ:
.
Пример 5.
Решить уравнение
.
Решение:
.
Если
,
то
,
или
.
Ответ: .
Пример 6.
Решить уравнение
.
Решение:
x=0,
(
),
.
Ответ: , .
Пример 7.
Решить уравнение
Решение:
,
,
,
,
,
.
Ответ:
.
Пример 8.
Решить уравнение
Решение:
(
)
.
Ответ:
.
Пример 9.
Решить уравнение
Решение:
,
,
,
Ответ:
.
Пример 10.
Решить уравнение
.
Решение:
.
Ответ:
Пример 11.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:
.
Пример 12.
Решить уравнение
Решение:
но так как
Ответ:
Пример 13.
Решить уравнение
.
Решение:
Ответ:
Пример 14.
Решить уравнение
Решение:
Ответ:
Пример 15.
Решить уравнение
Решение:
Ответ.