Гидравлическое сопротивление зернистого или пористого слоя при фильтровании
Образующийся на фильтровальной перегородке осадок представляет собой пористый слой, состоящий из, множества сообщающихся между собой пор (каналов) переменного сечения и кривизны. Поскольку частицы осадка обычно мелкие, поры между ними имеют небольшие размеры, поэтому полагают, что движение жидкости в них ламинарное. В простейшем виде можно представить что слой осадка состоит из пор одинакового диаметра и длины, равной высоте слоя осадка.
Зависимость между основными величинами, характеризующими гидравлическое сопротивление зернистого слоя при фильтровании (подобном движению жидкости в трубах и каналах), можно выразить известным из гидравлики уравнением Дарси:
,
где
– перепад давлений при фильтровании
или гидравлическое сопротивление слоя
осадка;
– коэффициент сопротивления зернистого
слоя;
– высота слоя осадка;
– плотность жидкости (фильтрата);
– эквивалентный диаметр пор осадка;
– скорость жидкости в порах.
При ламинарном
режиме движения жидкости в порах, когда
,
коэффициент сопротивления
находится по зависимости:
,
где – постоянная величина, равная 133–200.
С учетом значения уравнение примет вид:
.
Обозначив через
порозность слоя, выражают скорость
движения жидкости в порах
через скорость
,
отнесенную ко всему сечению слоя,
соотношением:
,
откуда:
.
Значение пор определяют по формуле:
,
где
– площадь сечения пор;
– смоченный периметр пор.
Умножив числитель и знаменатель в выражении на , получим:
,
где
– объем пор;
– площадь их поверхности.
Так как объем пор
в единице объема
,
а их поверхность
равна удельной поверхности
,
то из формулы получают:
.
Эквивалентный
диаметр
можно выразить также через размер
частиц, составляющих слой. Если слой
состоит из сферических частиц диаметром
,
то поверхность одной частицы составит
,
а ее объем
.
Тогда число частиц
в единице объема слоя равно отношению
объема
,
занятого частицами, к объему одной
частицы, т. е.:
,
а поверхность всех частиц:
.
Следовательно, эквивалентный диаметр пор:
.
Для несферических
частиц вводят коэффициент формы
,
равный отношению поверхности
шара того же объема, что и частица, к
поверхности
частицы (
).
Тогда:
.
После подстановки
значений
и
в уравнение и обозначив произведение
всех постоянных величин через
,
получают следующую формулу Кармана:
.
Формула Кармана широко применяется для определения гидравлического сопротивления, возникающего при движении жидкости через зернистый и пористый слой.
Фильтрование под действием перепада давлений
Основными величинами, характеризующими процесс фильтрования, являются скорость и продолжительность фильтрования, зависящие от перепада давлений на фильтре, вязкости фильтрата и гидравлических сопротивлений при фильтровании.
Скоростью
фильтрования
называют объем фильтрата
,
полученный с единицы площади
фильтра в единицу времени
(в
или в
),
т. е.
.
Согласно закону
Дарси скорость фильтрования прямо
пропорциональна перепаду давлений
на фильтре и обратно пропорциональна
сопротивлению слоя осадка, равному
,
т. е.:
,
где – сопротивление слоя осадка, отнесенное к единице его высоты.
Запишем уравнение в виде отношения перепада давлений к высоте слоя осадка:
.
Сопоставляя уравнения и , получим следующую зависимость, связывающую сопротивление слоя осадка с основными величинами, характеризующими осадок:
,
где
– удельное сопротивление осадка высотой
1 м и площадью основания 1
.
Тогда уравнение с учетом:
,
запишется так:
.
Общее сопротивление
при фильтровании состоит из сопротивлений
осадка и фильтровальной перегородки.
По аналогии с сопротивлением осадка
сопротивление перегородки составит
.
Так как в процессе фильтрования толщина
слоя осадка меняется и значения
и
являются переменными, с учетом общего
сопротивления
основное уравнение для скорости
фильтрования при
запишем в дифференциальной форме:
,
где
– элементарная удельная производительность
фильтра, т. е. объем фильтрата, полученный
с единицы его площади,
.
Сопротивление
слоя осадка рассчитывают по формуле
. При этом для осадков известной
структуры величину
находят в справочной литературе или
определяют опытным путем.
Если в уравнении
выражено в
,
–
,
– в
,
– в
и
– в Па, то
и
выражаются в
.
Тогда величина
в уравнении выражается в
.
Толщину слоя осадка в уравнении
определяют по его объему. Если на площади
(в
)
фильтра отложился осадок слоем
(в м), то его объем
(в
):
.
С другой стороны,
если обозначить через
объем осадка, приходящийся на 1
фильтрата, объем осадка
,
соответствующий
(в
)
фильтрата, составит:
.
Из совместного решения уравнений и находят толщину слоя осадка (в м):
.
Подставив значение в уравнение , получают:
.
С учетом значения основное уравнение фильтрования запишется в виде:
,
откуда:
.
Интегрируя это выражение в пределах от 0 до и от 0 до , находят продолжительность фильтрования (в с):
.
Решая последнее уравнение относительно , получают удельную производительность фильтра (в ):
.
Скорость промывки
осадка
определяется по уравнению, аналогичному
уравнению , т. е.:
,
где
– перепад давлений при промывке, Па;
– удельное coпpoтивление
осадка при промывке:
,
где
и
– динамические вязкости промывных вод
и фильтрата,
.
Если обозначить
через
расход воды (в
)
на 1
влажного осадка, объем промывных вод
(в
),
получаемый с единицы площади фильтра,
.
Продолжительность
промывки
(в с) при этом будет равна:
.
Из уравнения , в
котором
,
видно, что скорость фильтрования будет
выше при меньшем слое осадка на
фильтровальной перегородке. Поэтому
для повышения производительности
фильтров необходимо стремиться к тому,
чтобы слой I осадка на
перегородке был небольшим и периодически
или непрерывно удалялся с нее.