- •§ 2. Криволинейные интегралы второго рода
- •1. Определение криволинейного интеграла второго рода
- •2. Теорема существования криволинейного интеграла
- •3. Свойства криволинейного интеграла второго рода
- •4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода
- •5. Вычисление работы с помощью криволинейного интеграла
- •§ 3. Формула Грина
- •§ 4. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода
Р ассмотрим интеграл , где - непрерывная функция в каждой точке кривой , а кривая задана уравнением , причём непрерывна и имеет непрерывную производную на промежутке , где и
является абсциссой точки ,
- абсциссой точки (рис. 4)
При выполнении таких условий кривая в каждой точке имеет касательную. Мы будем рассматривать касательную, имеющую направление, совпадающее с направлением кривой . Обозначим через угол между положительным направлением касательной и осью . В силу геометрического смысла производной следует, что , а тогда
.
Интеграл мы можем записать так:
.
Перейдём в правой части к определённому интегралу:
.
Точно такому же определённому интегралу равен криволинейный интеграл первого рода
,
т.е. .
Окончательно получаем
.
Совершенно аналогично можно доказать и такую формулу:
,
где - угол между положительным направлением касательной к осью .
Скатывая почленно две последние формулы, получим соотношение, устанавливающее связь между криволинейными интегралами первого и второго рода по кривой , лежащей в плоскости :
Между левой и правой частям равенства здесь такое согласование: следа интеграл вычисляется по кривой от к , а справа через и обозначены углы касательной, направление которой совпадает с направлением кривой , с координатными осями.
Если - пространственная кривая, , , - углы касательной, совпадающей по направлению с кривой , с координатными осями , и соответственно, то справедливо такое соотношение:
5. Вычисление работы с помощью криволинейного интеграла
М ы получили ранее выражение для работы силы по перемещению материальной точки по кривой через криволинейный интеграл первого рода: .
Здесь - угол между вектором и касательной, направление которой совпадает с направлением кривой .
Найдём выражение для этой работы с помощью криволинейного интеграла второго рода (рис. 5). Пусть - угол между направлением касательной и осью , - угол между вектором и осью , тогда ясно, что
.
Обозначим через и проекции силы на координатные оси. Очевидно, что
,
кроме того,
,
тогда
Принимая во внимание формулу, устанавливающую связь между криволинейными интегралами первого и второго рода, получим окончательно
.
Итак, всякий криволинейный интеграл второго рода вида
можно истолковать как работу силы, имеющей своими проекциями на координатные оси и , по перемещению материальной точки вдоль кривой из точки в точки .
§ 3. Формула Грина
Пусть задана некоторая область , ограниченная снизу кривой , сверху - кривой , а с боков - отрезками и , параллельными
о си (рис. 6), и пусть в этой области определена непрерывная функция , имеющая непрерывную частную производную .
Вычислим
.
Переходя к повторному интегралу, получим
С другой стороны, интеграл по контуру области :
Правые части двух последних формул отличаются только знаком, следовательно,
.
Полученная формула называется малой формулой Грина. Можно доказать, что она справедлива и для области, изображенной на рис. 7.
Нетрудно доказать также, что эта формула справедлива для любой области, распадающейся на конечное число частей, изображенных на рис. 6 и рис. 7.
Если в области определена и непрерывна функция , имеющая непрерывную частную производную , то совершенно аналогично можно доказать вторую малую формулу Грина:
.
Складывая почленно обе малые формулы Грина, получим формулу
.
Эта формула называется большой формулой Грина или просто формулой Грина. Она устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру этой области.
Замечание (о вычислении площади области с помощью криволинейного интеграла). Положим в формуле Грина , тогда получим
.
При таких значениях функции и интеграл, стоящий в левой части формулы Грина, даёт нам удвоенную площадь области , откуда следует
.
По этой формуле можно вычислить площадь области , ограниченной контуром .
Пример. Вычислить площадь эллипса
Решение. Очевидно, что когда параметр изменяется от до , точка обегает полный контур эллипса в положительном направлении. Учитывая, что , получим
кв. ед.