1. Геометрической смысл двойного интеграла
Если в каждой точке простой области , по которой ведется интегрирование, то непосредственно из определения двойного интеграла следует (см. рис. 5), что двойной интеграл даёт нам объём тела, ограниченного снизу областью , сверху - поверхностью, уравнение которой , а с боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси , а направляющей служит граница области (контур ), т.е.
где - площадь область .
Приведём без доказательства свойства 3-7, очевидно которых следует непосредственно из определения двойного интеграла:
3.
4. ,
где и - некоторые постоянные.
5. Если область разбита простой кривой на две части и , то тогда
.
6. Если в каждой точке области : , то
.
7. Если в каждой точке области : , то
8. Если в каждой точке области справедливо неравенство
, то , где - площадь области .
Доказательство. В силу свойства 7 очевидно, что
откуда следует
остаётся учесть, что .
9. Теорема о среднем. Если в каждой точке замкнутой области непрерывна, то тогда в области найдётся точка такая, что
,
где - площадь области .
Доказательство. Так как функция непрерывна в замкнутой области , то в ней достигает своего наименьшего и наибольшего значения, т.е. справедливо неравенство , откуда в силу свойства 7 вытекает
.
Разделив почленно полученное соотношение на положительную величину получим
.
Ввиду того, что функция непрерывна в замкнутой области , а и её наименьшее и наибольшее значение соответственно, то в области найдётся некоторая точка такая, что
,
откуда и следует, что .
Значение называют "средним" значением функции в области .
2. Вычисление двойного интеграла
В ычислим двойной интеграл в предположении, что функция положительна в области , а область ограничена снизу кривой , сверху кривой (рис. 6), причём ; мы предполагаем, что функции и непрерывны в промежутке и в каждой его точке . Из геометрического смысла двойного интеграла ясно, что двойной интеграл даёт нам объём тела, изображенного на рис. 6.
Найдём объём этого тела с помощью определённого интеграла. Для этого проведём сечение тела плоскостью . Обозначим площадь этого сечения . Известно, что объём тела по площадям сечений вычисляется так:
.
Остаётся найти площадь сечения . Очевидно, что это сечение представляет собою криволинейную трапецию, ограниченную снизу прямой , сверху - кривой, уравнение которой (причём здесь фиксировано), а с боков - прямыми, параллельными оси .
Следовательно
.
Подставляя найденное значение в исходный интеграл, окончательно получим
.
Интеграл стоящий в правой части этого равенства, называется повторным или двукратным и записывается так:
Итак, окончательно получаем такое выражение двойного интеграла через повторный:
.
Заметим, что интеграл называется внутренним, при этом говорят, что внутреннее интегрирование ведется по переменной , а внешнее - по переменной .
Проводя совершенно аналогичные рассуждения, мы можем получить точно такую же форму для вычисления двойного интеграла, где внутреннее интегрирование выполнено по переменной , а внешнее - по переменной (рис. 6):
.
Очевидно, не играет роли, по какой переменной нужно выполнять внутреннее интегрирование, а по какой - внешнее.
Пример. Вычислить
,
где область ограничена прямыми (рис. 7).
Р ешение. Решим пример двумя способами.
Первый способ. Выполним внутреннее интегрирование по , а внешнее по , тогда получим
.
Вычислим внутренний интеграл:
.
Подставляя найденное значение в выражение для , получим
.
Второй способ. Внутреннее интегрирование выполним по переменной , а внешнее - по переменной . Заметим, что при этом область мы должны разбить на две области и (как указано на рис. 8), следовательно, двойной интеграл выразится в виде суммы таких двух повторных интегралов:
Итак, окончательно получим .