Скорость упругой волны в однородном контуре.
Рассмотрим
поперечные колебания в однородном
контуре, плотность вещества которого
-
.
Выделим элемент
с координатой
и соседние с ними элементы: 1-й с координатой
и 2-й с координатой
.
Со стороны 1 и 2
элементов на выбранный элемент действуют
силы натяжения
и
,
причем
.
Запишем 2-й закон Ньютона
,
где
-
масса среднего элемента,
- его ускорение.
Спроецируем на ось
,
,
,
.
С учетом скорости угла длина элемента шнура равна и
,
где - площадь поперечного сечения шнура.
Запишем
,
.
Мы получили волновое уравнение, из которого следует, что:
в шнуре распространяется волна
,
скорость волны равна
.
Энергия упругой волны.
В среде, в которой
распространяется продольная упругая
волна, выделим элемент массой
,
где - плотность вещества среды,
-
объем элемента.
Обозначим
- смещение элемента вследствие его колебаний,
-
скорость элемента.
Кинетическая энергия данного элемента равна
,
.
Вследствие деформации элемент обладает такой потенциальной энергией упругой деформации
,
где
- жесткость,
- деформация
элемента.
,
,
,
,
,
.
Для твердой упругой среды
,
,
где - фазовая скорость упругой волны
.
Полная механическая энергия элемента равна
,
.
Объемная плотность энергии равна
,
,
.
Для плоской гармонической волны:
,
,
,
,
.
Энергия волны в объеме среды равна
.
Средним значением объемной плотности энергии упругой волны за период колебаний называется величина
.
Для плоской гармонической волны
,
.
Плотность потока энергии.
Поток энергии через некоторую поверхность есть скалярная величина, равная отношению энергии, переносимый через поверхность за некоторый элементарный промежуток времени и длительности этого промежутка.
,
.
В случае, если поверхность - элементарная, говорят об элементарном потоке энергии
.
При распространении упругой волны частиц среды приобретают дополнительную энергию. Следовательно, при этом происходит перенос энергии волной.
В среде распространяется упругая волна со скоростью . Выделим элемент среды в виде элементарного объема
,
- угол между вектором нормали к элементу и вектором скорости волны.
Колебания от всех
частиц среды внутри объема достигнут
элемента
за время
.
Вместе с ними через
переносится энергия, равная энергии
колебаний в данном элементарном объеме.
.
Поток энергии через элементарный участок равен
,
.
Поток энергии через поверхность , проведенную в среде, равен
,
.
Найдем элементарный
поток энергии через элементарный участок
,
перпендикулярный скорости волны
.
.
Запишем
,
,
.
Вектор
называется плотностью потока энергии
илли вектором Умова.
Плотнось потока энергии есть вектор, направление которого совпадает с вектором скорости упругой волны, а модуль равен энергии,переносимый упругой волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную скорости волны.
Теперь можем записать:
,
.