Электрические волны.
Волновое уравнение для магнитного поля.
Запишем уравнение Максвелла
В вакууме и диэлектрике:
,
.
Кроем того
,
Вычислим ротор от обеих частей второго уравнения
,
.
Левую часть модно представить в виде
.
Здесь учли, что
.
Выражение
в декартовой системе координат имеет
вид
.
Итак,
,
Аналогично можно
получить уравнение для
Уравнения называются волновыми. Их решением является функция, описывающая волну, причем множитель в правой части связан со скоростью волны
,
.
Очевидно, что
,
.
Т.о. уравнения описывают электромагнитную волну, скорость которой равна .
В вакууме
,
,
.
В диэлектрической среде
.
Переменное электромагнитное поле представляет собой электромагнитную волну.
Плоская электромагнитная волна.
Рассмотрим плоскую
волну, распространяющуюся вдоль оси
,
причем волновые поверхности есть
плоскости, перпендикулярные оси
.
В этом случае
и
будут зависеть только от времени
и координаты
.
Запишем
,
Сравнивая правые части
Из уравнения
можно получить
Из первых уравнений следует, что
,
.
Электрическое и магнитные поля волны не могут быть постоянными, поэтому
,
.
Из этого условия вытекает, что векторы и перпендикулярны к оси и, следовательно, к вектору скорости волны.
Пусть Э.М.П.
отсутствует:
,
,
,
,
,
.
Предположим, что
в момент
было создано переменное электрическое
поле, направленное вдоль оси
.
Это поле, согласно
,
создает переменное поле
,
направленное вдоль оси
.
В соответствии с
это поле создает электрическое поле
и т.д.
При этом не возникают
ни поле
,
ни поле
,
.
Запишем и
продифференцируем по
,
.
Аналогично получаем
.
Решением уравнений являются функции
функции описывают плоские волны, распространяющиеся вдоль оси со скоростью
.
Подставим в
.
Запишем и
.
Продифференцируем по
,
.
Аналогично получаем
.
Решением уравнений являются функции
Функции описывают плоские волны, распространяющиеся вдоль оси со скоростью
.
Подставим в
.
Перемножим уравнения
.
Чтобы равенство было справедливым для любых значений времени и координаты необходимо условие
,
,
,
.
Запишем:
Здесь:
- круговая частота колебаний,
- период колебаний,
- длина электромагнитной волны в среде,
- длина электромагнитной
волны в вакууме.
В фиксированной точке пространства модули векторов и изменяются со временем по гармоническому закону .
Векторы и электромагнитной волны взаимно перпендикулярны и перпендикулярны вектору скорости волны .
Векторы , , связаны между собой правилом правого буравчика.
Энергия электромагнитной волны.
Запишем для объемной плотности энергии электрического и магнитного полей.
,
,
,
.
Объемная плотность энергии электромагнитной волны равна
,
.
Энергия электромагнитной волны в некотором объеме равна
.
Среднее за период колебаний значение объемной плотности энергии электромагнитной волны
,
,
.