Взаимно перпендикулярные колебания.
Частица одновременно совершает колебания
,
.
Интерес представляет траекторию движения частицы, т.е. кривая, которую можно задать
.
в общем случае траектория представляет сложную кривую, которая называется фигурой Лиссажу. Рассмотрим случай колебаний с одинаковыми частотами
,
,
.
В общем случае зависимость можно получить в виде
.
Проанализируем несколько случаев
.
,
,
,
.
.
,
,
,
.
.
.
Ангармонические (негармонические) колебания.
Дифференциальные уравнения полученные ранее, справедливы при выполнении условия малости колебаний. При этом решения уравнений оказываются гармоническими.
Рассмотрим математический маятник, для которого нельзя использовать условие малости отклонений от положения равновесия.
,
,
,
,
,
.
Это нелинейное дифференциальное уравнение.
Запишем
в виде ряда
.
Подставим в уравнение
,
.
Это дифференциальное уравнение ангармонических колебаний. Решение не является гармонической функцией и имеет вид:
,
-
амплитуда,
-
безразмерный параметр,
- круговая частота.
Если
,
то
.
Свободные затухающие колебания.
Пусть пружинный маятник совершает колебание в вязкой среде, где на него действует сила сопротивления среды
,
где
-
коэффициент сопротивления среды,
- скорость грузика.
Второй закон Ньютона для грузика
.
Проецируем на ось
,
.
Обозначим
,
,
,
.
Это дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.
Здесь:
- коэффициент затухающих колебаний.
- собственная круговая частота маятника.
Решение уравнения имеет вид
,
,
.
Обозначим
.
Величина есть амплитуда затухающих колебаний.
Величина есть круговая частота затухающих колебаний.
Периодом затухающих колебаний называется величина
,
.
Энергия затухающих колебаний.
Полная энергия маятника равна
,
,
,
,
Обозначим
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Затухание колебаний считается малым, если выполняется условие
,
.
При этом очевидно, что
,
,
,
,
,
,
,
.
Здесь
.
Характеристики затухающих колебаний.
Запишем:
,
.
Обозначим
,
- время,
.
Положим:
,
,
.
Время за которая
амплитуда колебаний уменьшится в
раз называется временем релаксации
.
Логарифмическим декрементом колебаний называется величина
,
,
.
Запишем:
,
где
-
число колебаний, за которое амплитуда
колебаний уменьшается в
раз.
Добротность называется величина
,
.
Ограничимся малым затуханием.
,
,
,
,
,
.
Апериодическое движение.
Запишем:
.
В теории дифференциальных уравнений доказывается, что если
,
то решение имеет вид
,
.
В случае, если
,
то решением будет функция
.
Это решение не является периодическим и его называют апериодическим.
При в системе не могут возникнуть колебания. После отклонения из состояния равновесия система возвращается в это состояние, не совершая колебаний.
Условие перехода колебательного режима в периодический записывают так
.
Вынужденные колебания.
Вынужденными называют колебания, возникающие под влиянием внешнего переменного воздействия, которое называют вынуждающей силой.
Уравнение вынуждающих колебаний имеет вид:
.
Пусть:
,
,
,
,
.
Решение уравнения:
.
Вынужденные колебания совершаются с частотой вынуждающей силы
,
.
Резонанс.
Резонансом называется явление возрастания амплитуды до максимального значения при изменении частоты вынуждающей силы.
п.1 Резонанс для смещения.
Найдем частоту, при которой амплитуда смещения достигает максимального значения
,
,
,
,
,
,
.
Величина
называется резонансной частотой для
смещения.
Найдем значение
,
.
Пусть затухание мало,
.
Найдем теперь
значение
при
,
т.е. когда действует постоянная вынуждающая
сила
.
Найдем отношение:
,
.
п.2 Резонанс для скорости.
Запишем:
,
,
,
,
.
Найдем значение , при котором наступает резонанс скорости
,
.
Глава: Электромагнитные колебания.
Колебательный контур.
Присоединим заряженный конденсатор к катушке индуктивности, как показано на рисунке. В цепи возникают электрический ток, вследствие чего заряд на обкладках будет уменьшаться, уменьшается также и напряженность электрического поля. При это появляется магнитное поле. В момент, когда заряд конденсатора и электрическое поле между обкладками равны нулю, магнитное поле максимально. Затем, вследствие того, что ток продолжает течь в прежнем направлении, на обкладках конденсатора появляются заряды другого знака. Когда заряд конденсатора достигает первоначального значения сила тока в цепи равна нулю. Затем указания выше процессы протекают в обратном направлении и система приходит в исходное состояние, после чего все повторяется. Процессы изменения заряда, электрического поля, тока, магнитного поля и т.п. носят колебательный характер и называются электромагнитными колебаниями.
Электрическая цепь, в которой возникают электромагнитные колебания, называется колебательным контуром.
В любом колебательном контуре обязательно имеются конденсатор и катушка индуктивности.
Для анализа процессов в колебательном контуре можно применять закон Ома и уравнение Кирхгофа при условии, что токи, возникающие в контуре, удовлетворяют условию квазистационарности
,
где
- длина контура,
,
- период колебаний.
Для
условия квазистационарности выполняются.