Дифференциальное уравнение для колебательного контура.

Рассмотрим колебательный контур, содержащий конденсатор , катушку индуктивности , сопротивление проводников обозначим . Пусть в момент от обкладки конденсатора начинает течь ток. Пусть в этот же момент в контуре начинает действовать э.д.с., которую обозначим .

Запишем закон Ома:

,

,

где - заряд, появившийся на обкладках конденсатора в результате протекания в цепи тока.

Далее:

, ,

,

.

Если найти решение уравнения , то можно определить закон силы тока .

Свободные колебания в контуре без сопротивления.

Электромагнитные колебания называются свободными, если в контуре не действует переменная э.д.с.

Итак, и .

.

Обозначим:

,

.

Решение уравнения имеет вид

,

.

Величина есть круговая частота собственных свободных колебаний или собственная частота контура. - амплитуда заряда на конденсаторе.

Период колебаний равен

,

.

Это формула Томсона.

Напряжение на конденсаторе равно

,

,

,

- амплитуда напряжения на конденсаторе.

Сила тока в контуре

,

,

,

- амплитуда тока в контуре.

Энергия электрического поля

.

Энергия магнитного поля

,

.

Энергия электрического и магнитного полей или энергия контура

,

,

.

Свободные затухающие колебания в контуре с сопротивлением.

,

, ,

,

,

- коэффициент затухания колебаний.

Решение уравнений имеет вид

,

,

- круговая (циклическая) частота затухающих колебаний.

.

Периодом затухающих колебаний называется величина

,

.

Логарифмический декремент затухающих колебаний равен

,

.

В случае малого затухания, т.е. если:

,

,

.

Добротность контура при малых затуханиях:

,

.

Заряд, напряжение, ток, энергия в колебательном контуре с сопротивлением.

Запишем для заряда конденсатора

.

Обычно затухание таково, что экспоненциальный множитель очень незначительно изменяется за достаточно большое число периодов затухающих колебаний.

Обозначим:

.

Величина называется амплитудой заряда конденсатора затухающих колебаний.

Запишем для напряжения на обкладках конденсатора

,

,

,

,

- амплитуда напряжения на конденсаторе.

Сила тока в цепи:

,

,

,

,

,

,

- амплитуда силы тока в контуре.

Напряжение на сопротивлении

,

,

,

,

- амплитуда напряжения на сопротивлении.

Энергия электрического поля

.

Энергия магнитного поля

.

Энергия электромагнитного поля (энергия контура)

.

Рассмотрим случай малого затухания

,

,

,

,

,

, ,

, ,

где - энергия контура в начальный (нулевой) момент времени.

Апериодический режим в контуре с сопротивлением.

Запишем:

.

При величина становится мнимой, это означает, что колебательный процесс оказывается невозможным.

Запишем

,

, .

Обозначим

.

Величина называется критическим сопротивлением.

Колебания возможны (колебательный режим)

,

, , ,

.

Колебания невозможны (апериодический режим)

,

, , ,

.

Вынужденные электрические колебания.

Пусть в контуре действует гармоническое э.д.с.

.

В этом случае дифференциальное уравнение имеет вид

.

Решение уравнения имеет вид

Очевидно,

.

Резонанс в колебательном контуре.

Запишем для амплитуд и :

График зависимости и представлен на рисунке. Максимальное значение амплитуд достигается при резонансной частоте

,

.

Для амплитуд силы тока и напряжения на сопротивлении: ,

\

В этом случае

.

Применение резонанса.

Пусть в колебательном контуре действует э.д.с.

Обозначим

- амплитуда напряжения на конденсаторе, обусловленная действием эд.с.

.

Изменяя параметры контура можно добиться выполнения условий

,

.

В этом случае

,

.

В случае малого затухания

.

На конденсаторе можно получить напряжение в раз превышающее . При этом напряжение, создаваемое остальными э.д.с. будет очень малым. Тем самым с помощью колебательного контура можно выделять э.д.с необходимой частоты, например, при настройке приемника.