- •П.2 Математический маятник.
- •П.3 Физический маятник.
- •Свободные колебания.
- •Период и частота колебаний.
- •Кинематика и динамика свободных гармонических колебаний.
- •Вектор – амплитуда.
- •Сложение гармонических колебаний.
- •П.1 Одинаково направленные колебания различной частоты.
- •Взаимно перпендикулярные колебания.
- •Ангармонические (негармонические) колебания.
- •Свободные затухающие колебания.
- •Энергия затухающих колебаний.
- •Характеристики затухающих колебаний.
- •Апериодическое движение.
- •Дифференциальное уравнение для колебательного контура.
- •Свободные колебания в контуре без сопротивления.
- •Свободные затухающие колебания в контуре с сопротивлением.
- •Заряд, напряжение, ток, энергия в колебательном контуре с сопротивлением.
- •Переменный ток.
- •Мощность в цепи переменного тока.
- •Возникновение и распространение упругой волны.
- •Уравнение волны.
- •П.1 уравнение плоской гармонической волны.
- •П.2 Уравнение сферической гармонической волны.
- •П.3 Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.
- •Волновое уравнение.
- •Скорость упругой волны в твердой среде.
- •Скорость упругой волны в газе.
- •Скорость упругой волны в однородном контуре.
- •Энергия упругой волны.
- •Плотность потока энергии.
- •Интенсивность волны.
- •Стоячие волны.
- •Узлы и пучности стоячей волны.
- •Поток энергии в стоячей волне.
- •Скорость упругой волны в однородном шнуре.
- •Колебания струны.
- •Эффект Доплера для звуковых волн.
- •Электрические волны.
- •Плоская электромагнитная волна.
- •Энергия электромагнитной волны.
- •Плотность потока энергии электромагнитной волны.
- •Интенсивность волны.
- •Импульс электромагнитной волны.
- •Давление электромагнитной волны.
- •Излучение электромагнитных волн.
- •Эффект Доплера для электромагнитных волн.
Часть: Колебания и волны.
Процессы, повторяющиеся во времени называются колебаниями или колебательными процессами.
Тело или система, участвующие в колебательном процессе, называются колебательной системой или осциллятором.
Глава: Механические колебания.
Маятники.
Рассмотрим три механические колебательные системы, которые называются маятниками.
п.1 Пружинный маятник.
Пружинный маятник представляет собой цилиндрическую пружинку жесткостью , закрепленную одним концом. К другому концу прикреплен грузик массой . Если оттянуть грузик и отпустить, то начнутся колебания. Выберем ось так, чтобы ее начало совпадало с положением груза когда пружина не деформирована.
Будем считать пружину невесомой, а силу тяжести, действующую на грузик много меньшей силы упругости пружины. Запишем уравнение 2-го закона Ньютона для грузика.
, .
Спроецируем на ось
,
, ,
где - деформация пружины и координата грузика
,
.
П.2 Математический маятник.
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити или невесомом подвесе.
Материальная точка массой подвешена на нити длиной . Пусть маятник движется, как показано на рисунке.
Обозначим:
- путь, пройденный материальной точкой, отсчитанный от положения равновесия 0 вдоль траектории.
Запишем 2-й закон Ньютона
.
Спроецируем уравнение на ось, совпадающую с направлением мгновенной скорости
.
Выразим угол через длину дуги длину маятника . Запишем
Далее
,
,
.
Пусть выполняется условие малых отношений маятника:
, , .
Тогда получим уравнение:
.
П.3 Физический маятник.
Твердое тело подвешено на горизонтальной оси и может свободно вращаться относительно нее. Точка называется точкой подвеса.
Если наклонить тело от вертикали, то начнется колебательное движение.
Обозначим - центр масс. Проведем отрезок и обозначим его длину . Проведем вертикаль через точку . Обозначим угол между вертикалью и , отсчитанный от вертикали . Масса тела равна .
Рассмотрим основное уравнение динамики твердого тела для указанного положения маятника
.
Направление оси вращения и вектора указано на рисунке.
Здесь:
- проекция момента силы относительно точки на ось вращения.
- момент инерции относительно той же оси.
Запишем:
, ,
,
,
.
Рассмотрим малые колебания, удовлетворяющие условию
, .
Тогда
.
Свободные колебания.
Колебания, возникающие в отсутствие переменных внешних воздействий на осциллятор, называются свободными.
Полученные выше уравнения можно записать в общем виде
,
где - величина, определяющая отклонение маятника от положения равновесия или смещение маятника,
- величина, характеризующая систему.
Решение уравнения ищем в виде:
,
,
, ,
, ,
где - мнимая единица.
Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
.
Итак, получим решение в виде
,
где , - некоторые константы.
После дальнейших преобразований можно привести к виду
.
Здесь:
- смещение осциллятора в момент ,
- амплитуда колебаний, ,
- круговая (циклическая) частота колебаний или собственная (круговая) частота системы, ,
- фаза колебаний, ,
- начальная фаза колебаний или фаза колебаний в начальный (нулевой) момент времени, .
Найдем модуль максимального смещения осциллятора.
.
Амплитуда колебаний численно равна модулю максимального смещения осциллятора от положения равновесия.
Для нахождения амплитуды и начальной фазы необходимо знать начальные условия, т.е. значение в момент , например, и .
,
,
,
.
Фазу колебаний будем обозначать:
.
Начальная фаза равна:
,
.
Функции в математике называются гармоническими. В дальнейшем будем использовать функцию, содержащую косинус.
Период и частота колебаний.
Возьмем приращение фазы колебаний
.
Пусть за отрезок времени приращение фазы оказалось равным . Обозначим
,
,
,
,
Отрезок времени, в течение которого приращение фазы колебаний составляет , называется периодом колебаний.
Величина есть период свободных гармонических колебаний.
Очевидно, что
.
Обозначим - смещение в момент . Найдем смещение в момент .
.
За время равное периоду колебаний система совершает одно колебание.
Величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний
, .
Частота колебаний численно равна числу колебаний, совершаемых системой в единицу времени, т.е. в 1 секунду.
Запишем:
.
В заключение дадим в виде таблички основные характеристики рассмотренных маятников.
, .
, .
, .