П.2 Уравнение сферической гармонической волны.

Сферической называется волна, волновые поверхности которой есть совокупность концентрических сферических поверхностей, в центре которых находится точечный источник волны.

Всякий источник волны является протяженным, поэтому волну можно рассматривать как сферическую на расстояниях от источника, значительно превышающих его размеры.

Для не поглощающей среды

.

Для поглощающей среды

.

П.3 Уравнение плоской гармонической волны, распространяющейся в произвольном направлении.

Пусть плоская волна распространяется вдоль направления, не совпадающего с осью .

Прямая, вдоль которой распространяется плоская волна, называется лучом.

Источник колебаний находится в начале системы координат

.

Выберем волновую поверхность на расстоянии от источника и запишем для колебаний частиц волновой поверхности

.

Проведем радиус-вектор в точку , построим вектор нормали к .

Запишем:

,

,

.

Вектор называется волновым вектором. Его модуль равен

.

Направление совпадает с направлением распространения волны.

Волновое уравнение.

Запишем

,

,

,

где - проекция вектора на оси .

Очевидно, что

Запишем

,

Сложим производные по координатам

,

Выражая из и запишем

,

,

.

Это волновое уравнение.

Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению, описывает волну, причем корень квадратный из величины обратный множителю перед второй производной по времени есть фазовая скорость волны.

Одномерное волновое уравнение для плоской волны, распространяющейся вдоль оси , имеет вид

.

Скорость упругой волны в твердой среде.

Пусть в направлении оси распространяется продольная упругая волна. Выделим элемент среды в виде цилиндра с площадью основания , перпендикулярного и высотой цилиндра . Частицы среды, принадлежащие основанию , имеют координаты и смещение .

Основание и точки принадлежащие ему имеют координаты и смещение . Если бы , то основание и имели бы одинаковое смещение вдоль не изменяя своей формы и размеров. Если , то и основания имеют разные смещения и цилиндр деформируется. На рисунке показано смещение при , т.е. имеет место деформация растяжения.

Обозначим

.

Величина называется относительной деформацией. Если , то на основания цилиндра действуют силы, которые будут его растягивать при . Известно, что для твердых тел:

,

где - т.п. модуль Юнга,

- площадь сечения.

Запишем:

,

,

.

Известно, что

, если .

Здесь вместо имеет вид , а вместо соответственно .

,

, .

Из 2-го закона Ньютона:

,

,

.

Мы пришли к одномерному волновому уравнению

,

,

.

Скорость упругой волны в газе.

Упругая волна в газе представляет собой распространяющуюся последовательность чередующихся областей сжатия разряжения газа.

Выделим элемент газа в виде цилиндра с основаниями и длиной . Пусть волна распространяется в направлении оси .

Масса газа в элементе объема

.

Обозначим и - смещения левого и правого оснований цилиндра.

Обозначим - давление на основания цилиндра. Запишем 2-й закон Ньютона

,

,

,

.

Запишем:

.

Полагаем, что

,

,

,

.

Обозначим - давление газа в отсутствие сжатия или разряжения. В звуковой волне процессы сжатия и разряжения происходят так быстро, что их можно считать адиабатическими, т.е.

,

где - объем, .

,

, ,

,

.

Продифференцируем по (учитывая, что )

.

Подставим

,

.

Решением будет волна, распространяющаяся со скоростью , причем

, .

Можно легко получить из

и ,

,

где ,

- термодинамическая температура,

- молярная масса газа, .