53. Сущность дисперсионного анализа. Основные задачи, решаемые с его помощью

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание) – статистический метод, позволяющий анализировать влияние различных факторов на исследуемую переменную. Целью дисперсионного анализа является проверка значимости различия между средними с помощью сравнения дисперсий. Дисперсию измеряемого признака разлагают на независимые слагаемые, каждое из которых характеризует влияние того или иного фактора или их взаимодействия. Последующее сравнение таких слагаемых позволяет оценить значимость каждого изучаемого фактора, а также их комбинации.

Основные понятия дисперсионного анализа

В процессе наблюдения за исследуемым объектом качественные факторы произвольно или заданным образом изменяются. Конкретная реализация фактора (например, определенный температурный режим, выбранное оборудование или материал) называется уровнем фактора или способом обработки. Модель дисперсионного анализа с фиксированными уровнями факторов называют моделью I, модель со случайными факторами - моделью II. Благодаря варьированию фактора можно исследовать его влияние на величину отклика. В настоящее время общая теория дисперсионного анализа разработана для моделей I.

В основе дисперсионного анализа лежит разделение дисперсии на части или компоненты. Вариацию, обусловленную влиянием фактора, положенного в основу группировки, характеризует межгрупповая дисперсия σ². Она является мерой вариации частных средних по группам вокруг общей средней и определяется по формуле:

,

где k - число групп;

n_j - число единиц в j-ой группе;

- частная средняя по j-ой группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

Вариацию, обусловленную влиянием прочих факторов, характеризует в каждой группе внутригрупповая дисперсия σ_j².

.

Между общей дисперсией σ₀², внутригрупповой дисперсией σ² и межгрупповой дисперсией существует соотношение:

σ₀² = + σ².

Внутригрупповая дисперсия объясняет влияние неучтенных при группировке факторов, а межгрупповая дисперсия объясняет влияние факторов группировки на среднее значение по группе.

Однофакторный комплекс

Изучается влияние на нормально распределенный результативный признак одного контролируемого фактора , имеющего уровней .

Под уровнем фактора подразумевается его мера или состояние, т.е. некоторое количественное или качественное значение.

Двухфакторный комплекс

Изучается влияние на нормально распределенный результативный признак фактора , имеющего уровней и фактора с уровнями .

содержание

54. Определение оценок параметров классической линейной модели множественной регрессии с помощью метода наименьших квадратов

Регрессионный анализ – это статистический метод исследования зависимости случайной величины Y от переменных Xj (j = 1, 2, ..., k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины независимо от истинного закона распределения Xj.

Наиболее часто используемая множественная линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

y = β₀ +β₁х_i1 +...+β_jx_ij+...+β_kx_ik+ε_i (2.1)

где ε_i – случайные ошибки наблюдения, независимые между собой, имеют нулевую среднюю и дисперсию σ²

В матричной форме регрессионная модель имеет вид:

Y = Xβ + ε (2.2)

где Y – случайный вектор – столбец размерности (n x 1) наблюдаемых значений результативного признака (y1, y2,..., yn); X – матрица размерности [n x (k+1)] наблюдаемых значений аргументов. Элемент матрицы xij рассматривается как неслучайная величина (i =1,2,...,n; j=0,1,2,...k; x=1); β-вектор – столбец размерности [(k+1) x 1] неизвестных, подлежащих оценке параметров (коэффициентов регрессии) модели; ε-случайный вектор – столбец размерности (n x 1) ошибок наблюдений (остатков). Компоненты вектора ε независимы между собой, имеют нормальный закон распределения с нулевым математическим ожиданием (Mε=0) и неизвестной дисперсией σ² (D ε_i = σ²).

Для оценки вектора β наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), согласно которому в качестве оценки принимают вектор b, который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений y_i от модельных значений ŷ, т. е. квадратичную форму:

Дифференцируя, с учетом квадратичную форму Q по вектору β_:

и приравнивая производные нулю, получим оценку метода наименьших квадратов:

Получаем вектор оценок b, где b=(b₀ b₁...b_k)^T.

Оценка ковариационной матрицы коэффициентов регрессии вектора b определяется из выражения:

, где

содержание