41.Случайные величины. Закон распределение вероятностей дискретной случайной величины

Случайная величина — это измеримая функция, заданная на каком-либо вероятностном пространстве. Случайная величина — одно из основных понятий теории вероятностей.

Наряду со случайными событиями, как фактами в схеме испытаний, характеризующими её качественно, результаты опытов можно описать количественно. Это и ведёт к понятию случайной величины в теории вероятностей. Фактически, всегда результаты опытов со схемой можно представить количественно с помощью одной или нескольких числовых величин. Так, в конечных схемах описаний вместо самих элементарных исходов можно рассматривать их номиналы (идентификаторы). Например, при бросании монеты «решка» — это 0, а «орел» — это 1; при бросании игральной кости результаты — суть номера граней от 1 до 6 и т. п.

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями.

Случайная величина  Х  называется  дискретной, если существует такая неотрицательная функция

 

 

которая ставит в соответствие значению  х_i  переменной  Х  вероятность  р_i  , с которой она принимает это значение. Дискретные случайные величины  X  и  Y  называются независимыми, если события  Х = х_i   и  Y = y_i  при произвольных  i  и  j  являются независимыми.

Случайная величина  Х  называется  непрерывной, если для любых   a <  b  существует такая неотрицательная функция  f ( x ), что

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения случайной дискретной величины (X) называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины (x₁,x₂,...x_n) и соответствующими им вероятностями (p₁,p₂,... ,p_n). При этом события (x₁,x₂,...x_n) образуют полную группу (т.е. появление одного из них является достоверным событием), что означает

                                                                                     (1)

Про случайную величину X в таком случае говорят, что она подчинена данному закону распределения.

Если множество возможных значений Х бесконечно (счетно), то ряд

сходится и его сумма равна единице.

Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Возможное значение X	X1	Х2	...	Хn
Вероятность	Р1	Р2	...	Рn

Такая таблица называется таблицей распределения (вероятностей) случайной величины X.

содержание

42. Функция распределения и плотность вероятности случайной величины, их свойства

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

Случайная величина  Х  называется  непрерывной, если для любых   a <  b  существует такая неотрицательная функция  f ( x ), что

Функция   f ( x ) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина  Х  принимает значение меньшее  х, называется функцией распределения случайной величины Х  и обозначается  F ( x ) :

 

F ( x ) = Р (  X    x ) .

Общие свойства функции распределения:

 

содержание