45.Парные и частные коэффициенты корреляции, их свойства

Корреляционный анализ является одним из методов оценки взаимосвязи между переменными величинами на основе выборочных данных.

При построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности, что обеспечивает линейный характер связи между изучаемыми признаками.

Двумерная корреляционная модель

Изучается корреляционная зависимость между признаками и .

Построение двумерной корреляционной модели предполагает, что распределение двумерной случайной величины является нормальным, а независимая повторная выборка из генеральной совокупности - репрезентативной.

Плотность двумерного нормального закона распределения :

- парный коэффициент корреляции, характеризующий тесноту линейной связи между величинами и .

- математическое ожидание ;

- математическое ожидание ;

- дисперсия ;

- дисперсия ;

Замечание. Парный коэффициент корреляции является одним из самых распространенных способов измерения связи между случайными величинами.

Величина не имеет размерности и, следовательно, может быть использована для сопоставления различных статистических рядов. По мере приближения к единице условные дисперсии стремятся к нулю, что свидетельствует о меньшем рассеянии значений переменных относительно соответствующих линий регрессии и о более тесной связи между переменными. Значение свидетельствует о наличии функциональной линейной зависимости между рассматриваемыми признаками. Если , то линейная связь между и отсутствует, однако это не означает их вероятностную независимость. В этом случае не исключается возможность существования иной формы зависимости между переменными.

Частный коэффициент корреляции

.

где - определитель матрицы, получающейся из матрицы удалением -ой строки и -го столбца.

В случае трехмерной корреляционной модели для переменных можно определить три частных коэффициента корреляции. Частный коэффициент корреляции, например между и при фиксированном

служит показателем связи между переменными и независимо от влияния фиксируемой переменной .

Напомним, что парный коэффициент корреляции показывает тесноту связи между переменными и на фоне действия .

Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции, т.к. является коэффициентом корреляции для их условного двумерного распределения.

Если парный коэффициент корреляции между данными случайными величинами отличен от соответствующего частного коэффициента, то, следовательно, фиксированные величины усиливает (или ослабляют) взаимосвязь между изучаемыми переменными.

содержание

46. Множественные коэффициенты корреляции и детерминации, их свойства

Мерой тесноты линейной взаимосвязи между переменной и совокупностью остальных переменных служит множественный коэффициент корреляции (обобщение парного коэффициента корреляции ):

,

где - определитель матрицы ;

- определитель матрицы, получающейся из матрицы удалением -ой строки и -го столбца.

В случае трехмерной корреляционной модели для переменных можно рассчитать три множественных коэффициента корреляции. В частности,

.

Точечная оценка - выборочный множественный коэффициент корреляции:

Выборочный множественный коэффициент детерминации. показывает долю дисперсии случайной величины , обусловленную изменением остальных переменных.

Свойства множественного коэффициента корреляции

.

Если , то связь между и остальными переменными является функциональной. В частном случае трехмерной корреляционной модели точки расположены в плоскости регрессии на .

Если , то случайная величина независима от других рассматриваемых переменных.

Множественный коэффициент корреляции не уменьшается при введении в модель дополнительных признаков и не увеличивается при исключении отдельных признаков из модели.

Для коэффициента детерминации функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи - 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50%. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

содержание