- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1 Классификация событий. Действия над событиями
- •1.2. Относительная частота
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Элементы комбинаторики
- •Примеры решения задач
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Сложение и умножение вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
- •Свойства:
- •1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
- •2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Примеры решения задач
- •Глава 3. Повторные испытания
- •3.1 Формула Бернулли
- •3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
- •Примеры решения задач
- •Глава 4. Дискретные случайные величины
- •4.1. Дискретные случайные величины.
- •4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
- •4. Моменты случайных величин.
- •5. Характеристики формы распределения.
- •4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.
- •1. Ковариация.
- •2. Корреляция.
- •4.4. Распределения дискретных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение.
- •2. Геометрическое распределение.
- •4. Биномиальное распределение.
- •5. Распределение Пуассона.
- •Примеры решения задач
- •Глава 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения случайной величины
- •5.2. Плотность распределения вероятностей.
- •Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей.
- •5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примеры решения задач
- •Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
- •6.1. Равномерное распределение.
- •6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •6.3. Нормальное распределение
- •Примеры решения задач
Примеры решения задач
5.1. Случайная величина X задана функцией распределения
Найти вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).
Решение: Вероятность того, что Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: Р (а < Х < b) = F (b)—F (а). Положив a=0, b= 1/3, получим
Р (0 < Х < 1/3)=F(1/3)—F(0)=[(3/4)x+3/4]x=1/3 – F[(3/4)x+3/4]x=0=l/4.
5.2. Случайная величина Х задана на всей оси Ох функцией распределения F (х) . Найти возможное значение х1, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х в результате испытаний примет значение, большее х1.
Решение: События и X>x1 – противоположные, поэтому . Следовательно,
Т. к. P(X=x)=0, то
По определению функция распределения,
Следовательно,
или
Отсюда , или .
5.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения в интервале ; вне этого интервала f(x)=0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу .
Решение: Воспользуемся формулой (5.6) P(a Х b) = . По условию , . Следовательно, искомая вероятность
.
5.4. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х
Найти функцию распределения F(x).
Решение: Используем формулу (5.7)
Если х 0, то f(x)=0, следовательно,
.
Если , то
Если х> , то
Итак, искомая функция распределения
5.5. Случайная величина Х задана плотностью распределения f(x)=2x в интервале (0,1); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.
Решение: Используем формулы (5.8б), (5.12)
,
Подставив а=0, b=1, f(x)=2x, получим
и
Т.к. , то .
Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
6.1. Равномерное распределение.
В качестве примера рассмотрим случайную величину Х, равномерно распределённую на промежутке [a; b]. В этом случае f(х) постоянна внутри этого промежутка:
a
b
f(x)
Г
Рис. 6.1
Для равномерного распределения функция F(x) имеет вид:
(6.2)
График функции F(x) представлен на рисунке 6.2.
Математическое ожидание равномерно распределенной непрерывной случайной величины равно . В силу симметричности равномерного распределения медиана равна , моды нет.
Дисперсия равномерного распределения равно . Стандартное отклонение .
Асимметрия равномерного распределения равна нулю , эксцесс равен .
Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал определяется по формуле:
(6.3)
6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
Показательным (экспоненциальным) распределением называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью вероятностей:
, (6.4)
г
Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна:
(6.5)
График функции распределения приведен на рисунке 6.4.
Математическое ожидание случайной величины, распределенной по показательному закону, равно M(X)= . Медиана – . Дисперсия – D(X)= . Среднее квадратическое отклонение совпадает с математическим ожиданием и равно (X)= . Коэффициент асимметрии равен A(X)=2, эксцесс – Е(Х)=6.
Вероятность попадания случайной величины, распределенной по показательному закону, в интервал определяется по формуле:
(6.6)