- •Глава 1. Основные понятия теории вероятностей
- •1.1 Классификация событий. Действия над событиями
- •1.2. Относительная частота
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Элементы комбинаторики
- •Примеры решения задач
- •Глава 2. Основные теоремы теории вероятностей
- •2.1 Сложение и умножение вероятностей
- •Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло:
- •Свойства:
- •1. Вероятность произведения n событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
- •2.2 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •Примеры решения задач
- •Глава 3. Повторные испытания
- •3.1 Формула Бернулли
- •3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
- •Примеры решения задач
- •Глава 4. Дискретные случайные величины
- •4.1. Дискретные случайные величины.
- •4.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •1. Математическое ожидание.
- •2. Дисперсия случайной величины.
- •3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.
- •4. Моменты случайных величин.
- •5. Характеристики формы распределения.
- •4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.
- •1. Ковариация.
- •2. Корреляция.
- •4.4. Распределения дискретных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение.
- •2. Геометрическое распределение.
- •4. Биномиальное распределение.
- •5. Распределение Пуассона.
- •Примеры решения задач
- •Глава 5. Непрерывные случайные величины.
- •5.1. Функция распределения случайной величины
- •5.2. Плотность распределения вероятностей.
- •Связь между функцией распределения и плотностью распределения вероятностей.
- •5.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Примеры решения задач
- •Глава 6. Распределения непрерывных случайных величин
- •6.1. Равномерное распределение.
- •6.2. Показательное (экспоненциальное) распределение.
- •6.3. Нормальное распределение
- •Примеры решения задач
Глава 3. Повторные испытания
3.1 Формула Бернулли
Повторными называются испытания, в которых вероятность появления события в каждом испытании постоянна и не зависит от исходов других испытаний.
Считаем, что испытания происходят в одинаковых условиях и вероятность появления события в каждом испытании одна и та же и равна , а вероятность непоявления события .
Вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит ровно раз выражается формулой Бернулли
, (3.1)
где
.
Число называется наивероятнейшим числом появления события в испытаниях, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях раз, не меньше вероятности остальных возможных исходов испытаний. При заданных и наивероятнейшее число определяют из двойного неравенства
. (3.2)
3.2 Предельные теоремы Лапласа и Пуассона
Если число испытаний велико , то вероятность появления события А в k раз в n испытаниях можно рассчитать с помощью предельных теорем.
Локальная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной и велика (р>0,1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие появится ровно раз, приближенно выражается формулой
, (3.3)
где
, . (3.4)
Функция четная, следовательно, .
Интегральная теорема Лапласа. Если вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна одной и той же постоянной и велика (р>0.1), то вероятность того, что во всех этих испытаниях событие появится менее раз и не более раз, приближенно равна
, (3.5)
где – функция Лапласа, т.е. , а и определяются равенствами
, . (3.6)
Функция Лапласа нечетная, следовательно, . Для значений полагают .
Теорема Пуассона. Если число испытаний велико, а вероятность появления события в каждом испытании очень мала (р<0,1), то говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона и используют приближенную формулу
, (3.7)
где – число появлений события в независимых испытаниях, – среднее число появлений события в испытаниях.
Примечания.
Формулы Бернулли, Лапласа и Пуассона применяются в тех случаях, когда рассматриваются испытания, удовлетворяющие схеме Бернулли.
Приближенными формулами Лапласа на практике пользуются в случае, если . Если же , то эти формулы приводят к большим погрешностям.
Примеры решения задач
3.1. Прибор состоит из 6 узлов. Вероятность отказа в течение месяца для каждого узла равна 0,8. Узлы выходят из строя независимо один от другого. Найти вероятность того, что в течение месяца: а) откажет ровно один узел; б) откажут ровно два узла; в) откажет не менее двух узлов.
Решение.
а) По условию задачи 6, 1, 0,8, 0,2.
По формуле Бернулли =0,001536
б) 6, 2, 0,8, 0,2
=0,01536
в) =
=1–0,000064–0,00154=0,998.
3.2. Магазин получил партию из 50 мониторов. Вероятность наличия в партии монитора со скрытыми дефектами равна 0,05. Найти наивероятнейшее число мониторов с дефектами в этой партии.
Решение. Проводится 50 повторных независимых испытаний. Вероятность наличия монитора со скрытыми дефектами в каждом испытании постоянна. Значит выполняется схема Бернулли. По формуле (3.4) имеем:
50 0,05–0,95 50 0,05+0,05,
1,55 2,55.
Так как число мониторов может быть только целым, то наивероятнейшее число мониторов со скрытыми дефектами в этой партии равно 2.
3.3. Завод отправил на продажу 5000 хрустальных ваз. Вероятность того, что в пути разбили одну вазу равна 0,0002. Найти вероятность того, что в пути будет разбито: а) три вазы; б) не более трех ваз.
Решение. Т.к. число независимых испытаний =5000 велико, а вероятность =0,0002 появления события в каждом испытании мала, то для вычисления вероятности появления события раз применяем формулу Пуассона, где =5000 0,0002=1.
а) при =3 получаем: ;
б) =
= .
3.4. Из каждых 100 студентов, имеющих компьютеры, 40 имеют выход в Интернет. Найти вероятность того, что: а) из 600 студентов, имеющих компьютеры, 210 имеют выход в Интернет; б) из 600 студентов, имеющих компьютеры, от 210 до 260 включительно имеют выход в Интернет.
Решение. а) Вероятность того, что студент имеет выход в Интернет, равна 0,4. Так как =144>10, то применим локальную формулу Лапласа. Вначале по формуле (3.7) находим
.
Функция четная, следовательно, . Пользуясь таблицей значений функции находим, что =0,0175. По формуле (3.6) получаем
.
б) Применяем интегральную теорему Лапласа. Вначале по формулам (3.9) находим
, .
Теперь по формуле (3.8), учитывая свойства функции и таблицу значений функции , получаем
0,4525+0,4938=0,946