3. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называется арифметический корень из дисперсии:

(4.16)

Из свойств дисперсии вытекают свойства стандартного отклонения.

Свойства стандартного отклонения.

1. Стандартное отклонение от постоянной величины равно 0: .

2. Среднее квадратическое отклонение произведения случайной величины Х на постоянную равно произведению среднеквадратического отклонения случайной величины Х на модуль постоянной:

(4.17)

3. Если X и Y – независимые случайные величины, то среднее квадратическое отклонение от суммы случайных величин равно:

(4.18)

4. Моменты случайных величин.

Начальным теоретическим моментом k-ого порядка называют математическое ожидание случайной величины :

(4.19)

Центральным теоретическим моментом k-го порядка называется математическое ожидание k-ой степени отклонения :

(4.20)

Если распределение вероятностей случайной величины симметрично относительно её математического ожидания, то все центральные моменты нечетного порядка равны нулю: .

5. Характеристики формы распределения.

Коэффициентом асимметрии случайной величины Х называется число , равное отношению третьего центрального момента к кубу среднеквадратического отклонения случайной величины Х:

(4.21)

Коэффициент асимметрии случайной величины, закон распределения которой симметричен относительно математического ожидания, равен нулю. Если распределение вероятностей несимметрично, причем «длинная часть» распределения расположена справа от центра группирования, то >0, если же «длинная часть» расположена слева, то <0.

Эксцесс Е(Х) – числовая характеристика островершинности закона распределения, равна разности между отношением четвертого центрального момента к среднему квадратическому отклонению в четвертой степени случайной величины Х и цифрой 3:

(4.22)

4.3. Числовые характеристики меры связи случайных величин.

1. Ковариация.

Ковариацией случайных величин X и Y называется число, равное математическому ожиданию произведения отклонений случайных величин X и Y от своих математических ожиданий:

. (4.23)

Теорема: Ковариация независимых случайных величин равна 0: .

Если , случайные величины X и Y зависимы.

2. Корреляция.

Корреляцией случайных величин X и Y называется отношение ковариации случайных величин к их средним квадратическим отклонениям:

(4.24)

Для независимых X и Y , так как в этом случае cov(X; Y)=0.

Свойства коэффициента корреляции.

1. –1 _XY1

2. Если _XY=1, то , где a и b—константы, a>0.

3. Если _XY= –1, то , где a<0.

4. Если , (a0) или , то _XY=1 при a>0; _XY= – 1 при a<0.

4.4. Распределения дискретных случайных величин.

1. Равномерное распределение.

Случайная величина Х, принимающая целочисленные значения от 1 до n, имеет равномерное распределение, если

. (4.25)

Многоугольник распределения случайной величины Х представляет собой отрезок прямой, параллельной оси абсцисс. Концы отрезка имеют координаты и .

Математическое ожидание равномерного распределения .

Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по равномерному закону равна .

Стандартное отклонение .